Иктисодий математик моделлар ва усуллар хамда уларнинг предмети

Стандартлаштириш деганда кузатиш натижаларининг уларнинг урта арифметик кийматларидан фаркларининг стандарт (урта квадратик) четланишга нисбатан бахоланишига дейилади.
(3)
бу ерда х_i ва y_i - кузатиш натижалари,
ва - урта арифметик микдорлар,
S_x ва S_y -стандарт четланишлар..
(4) тенгликнинг уринли эканлигини исботланг.
Богликликнинг шаклини аниклаш учун хар хил функциялардан, хусусан регрессия тенгламаларидан фойдаланиши мумкин. Регрессиялар чизикли ёки чизикли эмас, оддий (бир факторли) ёки куп факторли булиши мумкин:
1) оддий чизикли регрессия y=b₀+b₁x (5)


2) оддий чизикли эмас регрессия y=b₀+b₁/x , y=a₀a₁^x ,
y=b₀+b₁x+b₂x²+...+b_mx^m , y=a₀x^a₁ ва хакозо.
3)куп факторли (улчовли) чизикли регрессия
y=b₀+b₁x₁+b₂x₂+...+b_mx_m m›1
4)куп факторли чизикли эмас регрессия
y=b₀b₁^x₁b₂^x₂...b_m^x_m
y=b₀x₁^b₁x₂^b₂...x_m^b_m
y=b₀+b₁x₁²+b₂x₂²+...+b_mx_m²
Оддий чизикли регрессия мисолида регрессиялар тузиш усуллари орасида энг оддий ва кенг кулланиладигани – энг кичик квадратлар усули билан танишамиз.
Реал кузатишдан олинган кийматларнингфаркини минималлаштириш оркали ечилади (реал объект билан модел уртасидаги фаркни камайтириш максадида).
ЭКК усули куйидаги талабга (гояга) асосланади:
(6)
бу ерда (7) натижавий белги (у)нинг факторли белги (х)нинг i-нчи кузатиш натижасига мос (5)-нчи модел ёрдамида хисобланган моделли киймати (7)ни (6)га куйиб
(8)ни хосил киламиз.
Экстримумнинг зарур шартига асосланган холда

(9)ни хосил киламиз.
Чунки экстримумга эришиш учун номаълумлардан олинган биринчи тартибли хосилалар 0га тенг булиши керак, лекин бу етарли эмас. ЭКК айнан минимумни таъминлайди, агар иккинчи тартибли хосилалар мусбат булса минимум булади, агар манфий булса максимум булади.
Э КК усули аникланадиган экстримумнинг минимум булишини таъминлайди, яъни бу усулда

(10)
Хосилаларни олиб (9)га куйсак ихчамлаш натижасида куйидаги иккита номаълумли иккита чизикли тенгламалар системасини хосил киламиз:

(11) нормаллашган тенгламалар системаси. Бу симметрик матрица хисобланади.
Нормал тенгламалар системасини ечишда кулланиладиган усулларидан энг кулай (тежамли)ларидан бири квадрат илдиз усулидир. (11)ни ечиб b₀ ва b₁ регрессия коэффициентларининг муайян кийматларини аниклаймиз. Уларни (5)га куйиб берилган кузатиш матрицасига мос муайян регрессияни ёки математик моделни хосил киламиз. Кузатишлар матрицаси билан тузилган модел орасидаги адекватликни (мослик, ухшашлик ) бахолаш учун хар хил статистик усуллардан фойдаланиш мумкин. Хусусан бундай холларда Фишер статистикаси кенг кулланилади:
(12)
Бу ерда k₁-тузилаётган регрессиядаги факторли белгилар сони, яъни k₁=m, k₂=n-m-1.


Хисобланган Фишер статистикаси (F) Фишер статистикалари жадвалидаги статистика F_α,k1,k2 билан солиштирилади. Агар F≥F_α,k1,k2 булса, тузилган модел α эхтимоллик билан адекват дейилади. Аксинча булса, адекват эмас дейилади. Реал масалаларда n>>0 булиши керак, яъни анча катта булиши керак.
ЭКК усули тузилаётган регрессия регрессия коэффициентларига нисбатан чизикли булган барча холлар учун универсалдир. Агар регрессияни булиб тасвирланса унга ЭККУ кулланилади.

урнига белгилаш киритса булади: , .
ЭККУни куп факторли чизикли регрессияни тузишга кулланилишини курамиз:
(13)
, , ,... , (14)

Куп факторли регрессия тузиш учун кузатишлар матрицаси куйидаги умумий куринишда булади:

I	X1	X2	X3	...	xm	Y
1	X11	X12	X13	...	X1m	Y1
2	X21	X22	X23	...	X2m	Y2
. . .	. . .	. . .	. . .	... ... ...	. . .	. . .
n	Xn1	Xn2	Xn3	...	xnm	yn

X_ij(i=1,n; j=1,m)
i-кузатиш номери
j-фактор номери



.
.
.
(15)


(7’)
(15)нчи формулани куйидаги матрица куринишида ёзиш мумкин:
(16) бу ерда



Y = ƒ(x_1,x_2,......x_m) - регрессия функцияси , регрессия тенгламаси.
m=1 – оддий (бир факторли) регрессия, m=2 – ва бошкалари куп факторли регрессия дейилади. Чизикли ва чизикли эмас булганига караб регрессия чизикли ва чизикли эмас булади.
Регрессия куринишлари:
1. Оддий чизикли регрессия
y = b₀+b₁x
2. Оддий чизиклимас регрессия
y =b₀+1/x
y =b₀*x^b₁
y =b₀*e ^b ₁ ^x
3. Куп факторли чизикли регрессия
y =b₀+b₁x ₁+b₂x₂ +.......+b_mx_m
4. Куп факторли чизиклимас регрессия
y = b₀+b₁x₁²+b₂e^x₂
y =b₀b₁^x₁*b₂^x₂*.........*b_m^x_m
y = b₀x₁^b₁*x₂^b₂*........*x_m^b_m

Ушбу регрессияларда В-билан регрессия коэффицентлари белгиланган. Ушбу коэффицентлар фактор белгиларнинг Y-натижавий белгини ифодалайди, b₀-назарда олинмаган факторларнинг таъсирини курсатади.

Оддий чизикли регрессия тузишда энг кичик квадратлар

yсулини куллаш.

x ва y орасидаги богликликни тасвирлайдиган регрессияни аниклаш учун куйидаги кузатишлар матрицаси тузилади.

I	y	X
1 2 3 : : n	y1 y2 y3 : : yn	x1 x2 x3 : : xn

Бу ерда i- кузатишлар ракам номери
n-кузатишлар сони
x _i- ( ,i - кузатиш натижасида олинган x факторнинг белгиси,
y_i- ,i- кузатиш натижасида олинган y-ифода
Кузатишлар матрицаси асосида олинган характерли майдон x нинг y га нисбатан фараз килиш имконини берган булсин. У холда:
Y =b ₀ + b ₁ x (2) у оддий чизикли регрессия булади.
Регрессиянинг номаълум b₀ ва b₁ коэфицентларни топиш учун, энг кичик квадратлар усулини куллаймиз. Бунда кузатиш натижасидаги маълумотларни каноатлантирадиган (1) регрессия аниклайдиган куйидаги курунишдаги талаб куйилади.
(3)
бунда ( 4)
Моделнинг натижавий белгисини ифодалайдиган
(5)
ва
(3)¹ экстримумга эришиш учун.
(6)
Буни соддалаштириб



(7)
бундан регрессия коэффициентларини топамиз,
(8)
(9)

Коэффициентлар кийматларини (2) формулага куйиб, аник регрессияни аниклаймиз.
Тузилган регрессиянинг адекватлигини текшириш Фишер статистикаси ёрдамида амалга оширилади
F = K₂Q₁/K₁Q₂ (10)
бунда,
K₁ =m, K₂=n-m-1

(11)
Фишер статистикасидан топилган F ни жадвалимиздан топилган F_,k1,k2
билан солиштирамиз. Агар F>=F_,k1,k2 булса, у холда тузилган регрессия адекватланган булади, акс холда адекватланмаган булади.
- Фишер жадвалининг аниклик эхтимолини курсатади.
Мисол, ушбу жадвалда y-махсулот ишлаб чикариш хажми ва n=6 корхонада x- ишларнинг сони хакидаги маълумот берилган. Богликликни чизикли деб фараз килиб, x ва y орасидаги богликни ифодалайдиган оддий чизикли регресия тузилсин. Факторлар сони m=1

I	y	x	x*y	x^2	yi^*	yi^*-y	(yi^*-y)^2
1 2 3 4 5 6	5 6 7 10 8 6	1 1 2 4 3 1	5 6 14 40 24 6	1 1 4 16 9 1	5,625 5,625 7 9,75 8,375 5,625	1,9 1,9 0 7,6 1,9 1,9	0,4 0,14 0 0,06 0,14 0,14
	42	12	95	32		15,2	6,88

y₀ =b₀+b₁x

b₁=nx_iy_i -x_i*y_i/nx_i² –(x_i)²
b₀=y*-b₁x*
b₁=6_*95-12_*42/6_*32-(12)²=1,375
b₀=7-1,375_*2=4,25
y*=42/6=7
x*=12/6=2
y=4,25+1,375x
Тузилган регрессиянинг адекватлигини фишер статистикаси ёрдамида текширамиз.

K₁=m=1, k₂=n-m-1=6-1-1=4
y_i*=b₀+b₁x_i
Q₁=(y_i*-y*)=15,2
Q₂=(y_i*-y_i)=0,88
F=4_*15,2/1_*0,88=69,1
Хисобланган фишер статистикасини жадвалимиз статистикаси билан солиштириб,
=0,05 F_0,05,1,4 = 7,71
F>F _0,05;1;4
регрессия адекват эканлигини аниклаймиз.
PROGRAM REGR;
CONST N=6;
VAR Z,X,Y,L: ARRAY [0......N] of REAL;
B0, B1,K1,K2,Q1,Q2,F1,X1,Y1,F:REAL;
FUNCTION S (X: ARRAY [1.....N] of REAL) : REAL;
BEGIN S:=C FOR I:=1 TO N DO
S:=S+X[I]
END
BEGIN
WRITELN(белгиларни киритинг)
FOR I:=1 TO N DO
BEGIN
WRITELN(¹Y[¹I^1],X[¹ ,i,¹] ?¹) ;
READLN (Y[I] , X[I] );
END
FOR I:=1 TO N DO
BEGIN
Z[I]:= X[I]*Y[I];
L[I] :=X[I]*X[I] END
b1 :=(n*S(Z)-S(X)+S(Y))/(n*S(L)-S(X)*S(X)) ;
b0 := Y1-B1*X1;
K1 :=1, K2:=4;
FOR i=1 TO N DO
BEGIN
L[I] :=b0+b1*X[I] ;
Z[I] :=L[I]-Y[I] ; END
Q1 := S(L);
Q2 := S(Z);
F : = (K2*Q1)/(K1*Q2)
WRITELN (Фишер статистикасини киритинг)
READLN (F1);
IF F1WRITELN(регрессия адекватланган)
ELSE
WRITELN(регрессия адекватланмаган)/
WRITELN(¹b0=¹, b0¹, b1=¹b1,¹);
END.