Ildiz chegaralari shturm teoremmasi

Misol. ko’phadni olamiz. Bu ko’phad va uning hosilasi ga Yevklid algoritmini tatbiq etgandan keyin bu ko’phadlarning eng katta umumiy bo’luvchisi nimaga tengligi ma’lum bo’ladi. Agar eng katta umumiy bo’luvchi darajasi noldan yuqori darajali ko’phad bo’lib chiqsa, bu hol ning karrali ko’paytuvchilari borligini ko’rsatadi. Bunday vaqtda ning karrali ko’paytuvchilarini ajratib, o’rniga shu ko’paytuvchilarni tekshiramiz. ni topamiz:

Endi ni ga bo’lamiz. Bunda ko’phadlarning ishoralari ahamiyatlidir. Shu sababli kasr koeffitsientlarning bo’lmasligini istasak, bo’linuvchi yoki bo’luvchini faqat musbat sonlargagina ko’paytiramiz. Shunday qilib, ni 2 ga va ni ga ko’paytirib, bo’lishni bajaramiz:

Qoldiqning ishorasini o’zgartirib, quyidagilarni hosil qilamiz:

ni ga bo’lamiz:

Demak, ; ni ga bo’lamiz:

Bunda deb (ya’ni 12 ga qisqartirib va ishorani o’zgartirib) olamiz. Natijada quyidagi Shturm ko’phadlarini hosil qilamiz:
(4)
Shturm ko’phadlarining xossalarini ko’rib o’tamiz.
1-xossa. Hech qaysi ikkita yonma-yon turuvchi Shturm ko’phadlari umumiy haqiqiy ildizga ega emas.
Isboti. Faraz qilaylik, va ko’phadlar umumiy ildizga ega bo’lsin. (2) tengliklarga asosan ushbu
(5)
tenglikni hosil qilamiz va o’ng tomonning ga bo’linishini ko’ramiz (chunki va uchun ildizdir), demak, ham ga bo’linadi. Endi (5) dan oldingi turgan tenglikka o’tib, xuddi shu yo’l bilan ham ga bo’linadi degan natijaga kelamiz va hakozo.
Yuqoriga tomon birma-bir qadam qo’ya borib, (2) dagi ikkinchi va birinchi tengliklardan va ning ga bo’linishini topamiz. Lekin bunday bo’lishi mumkin emas, chunki va o’zaro tubdir.
2-xossa. Agar oraliq ko’phad uchun haqiqiy ildiz bo’lsa, u bilan yonma-yon turgan ikki va ko’phadning ga mos qiymatlari qarama-qarshi ishoraga ega.
Isboti. Shart bo’yicha bo’lib, birinchi xossaga asosan va . Endi tenglikdan qiymatda kelib chiqadi. Bu esa xossani isbotlaydi.