Ilm-fan tarixidan eng muhim matematik tenglamalar haqida mulohazalar

Annotation

This article provides information on the concept of equations and the 17 mathematical equations that have changed the world, and some controversial views on their importance and relevance today.

Keywords: equation, Pythagorean theorem, logarithms and logarithmic identity. Basic Equations of Mathematical Analysis, Newton's Theory of Gravity, Complex Numbers, Euler's Description of Poles, Normative Distribution, Wave Equation, Fourier Substitutions, Navier-Stokes Equation, Maxwell's Equation, The Second General Law of Thermodynamics, Einstein's Theory of Relativity, Shry, Shenno’s information entropy, a logistic model representing population growth

Tenglama — ikki yoki undan oshiq ifodalarning oʻzaro bogʻlanganini koʻrsatuvchi matematik tenglik. Tenglamalardan matematikaning barcha nazariy va amaliy sohalarida hamda fizika, biologiya va boshqa ijtimoiy fanlarda qoʻllaniladi.^[1]

Tenglik belgisining birinchi marta ishlatilgani (14x+15=71). Robert Recordening „Witte Chaqmoqtoshi“ („The Whetstone of Witte“) kitobidan (1557).

Tenglamada bir yoki undan koʻp nomaʼlum qiymat boʻladi va ular oʻzgaruvchilar yoki nomaʼlumlar deb ataladi. Nomaʼlumlar odatda harflar yoki boshqa belgilar bilan ifodalanadi.

Tenglamada ifodalar odatda tenglik belgisining (=) ikki tomoniga yoziladi. Masalan, x + 3 = 5 tenglamasi x+3 ifodasi 5 ga teng ekanligini taʼkidlaydi. Tenglik belgisini (=) Shotlandiyalik matematik Robert Recorde (1510-1558) oʻylab topgan.^[2] U ikki bir xil uzunlikdagi parallel toʻgʻri chiziqlardan tengroq narsa boʻlmaydi deb hisoblagan.

Tenglamalarning ilk yechimlari eramizdan 2000 yilcha oldin yozilgan Rhind papirusida yozilgan. Berilgan masalalar arifmetik masalalar boʻlgan. Masalan, „massa va uning 1/7 ning yigʻindisi 19 ga teng“ kabi masalalar uchun tenglamalar yozilgan. Bunday masala uchun nomaʼlumni x deb belgilab, x+1/7x kabi sodda tenglama yozilgan. Arifmetik masalalardan keyin ikki nomaʼlum qiymatli tenglamalar yuzaga kelgan. Yunonlar qoʻshaloq chiziqli tenglamalarni bilishgan. Arximedning „chorva masalasi“ kabi sistemalarda berilgan noaniq tenglamalar Diofant bir necha shunaqa tenglamani ishlab koʻrsatib bermagunicha jiddiy oʻrganilmagan.

Ingliz matematigi Yan Styuart o‘zining «Noma’lumni izlab: dunyoni o‘zgartirgan 17 ta tenglama» nomli asarida (Ian Stewart, “17 equations that changed the world” – London, 2012), ilm-fan tarixidan eng muhim 17 ta matematik tenglamalarning kashf etilishi tarixi va ularning insoniyat uchun keltirgan amaliy ahamiyati haqida so‘z yuritadi. Olim shuningdek mazkur tenglamalarning hozirgi kundagi amaliy dolzarbligi haqida ham aniq misollar keltirib o‘tadi. Ushbu maqolamizda, Yan Styuart nazdida eng yuksak matematik tenglamalar deb topilgan o‘sha 17 tenglama haqida qisqacha to‘xtalib o‘tamiz.

1.Pifagor teoremasi-toʻgʻri burchakli uchburchak tomonlari haqidagi teorema. Unga koʻra, agar toʻgʻri burchakli uchburchak tomonlari bir xil masshtabda oʻlchangan boʻlsa, katetlar uzunliklari kvadratlari yigʻindisi gipotenuza uzunligi kvadratiga teng: {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}

Pifagor teoremasiga, asosan, toʻgʻri burchakli uchburchak katetlariga yasalgan kvadratlar yuzalarining yigʻindisi gipotenuzaga yasalgan kvadrat yuzasiga teng .Pifagor teoremasi Qadimgi Misr va Pifagor teoremasiga Bobilda maʼlum °VD shakl. boʻlgan, lekin birinchi isboti Pifagorga tegishli deb hisoblanadi. Hozir Pifagor teoremasining oʻndan ortiq isboti maʼlum. Yuqorida keltirilgan Pifagor teoremasi taʼrifi Yevklid geometriyasida oʻrinli, lekin noyevklid geometriyalarda Pifagor teoremasi boshqacha ifodalanadi.

Ahamiyati: Pifagor teoremasi – geometriyaning eng muhim tenglamasi bo‘lib, u geometriya va algebrani o‘zaro bog‘laydi va trigonometriya fanining asosi sanaladi. Ushbu tenglamasiz, aniq kartografiya hamda navigatsiyani tasavvur qilib bo‘lmaydi.

Bugungi kun uchun dolzarbligi: Ushbu formula hozirda ham, GPS tizimlarida muayyan obyektlarning bir-biriga nisbatan joylashuvini belgilash uchun triangulyatsiya usuli tarkibida qo‘llaniladi.

2. 
   Logarifmlar va logarifmik ayniyat. Logarifm bu – argumentni olish uchun asosni ko‘tarish kerak bo‘lgan daraja ko‘rsatkichidir.
   

Ahamiyati: Logarifmlar o‘z davri uchun haqiqiy ilmiy inqilob o‘laroq namoyon bo‘lgan edi. Logarifmlardan foydalanish – muhandislarga hamda munajjimlarga hisob-kitoblarni yanada tezkorroq va aniq bajarish imkonini bergan. Logarfmik chizg‘ichni esa, dastlabki tezkor hisoblash texnikasi deyish mumkin. Kompyuterlarning paydo bo‘lishi bilan logarifmlar o‘z ahamiyatini biroz yo‘qotgandek go‘yo. Lekin ularning ilmiy ahamiyati zarracha kamaygan emas.

Bugungi kun uchun dolzarbligi: Logarifmlardan hozirda radioaktiv yemirilish (parchalanish) jarayonlarini tadqiq qilishda muhim matematik vosita sifatida qo‘llanmoqda.

3.Matematika analizning asosiy tenglamasi, yoki, Nyuton-Leybnits formulasi.Nyuton-Leybnits formulasi aniq integralni hisoblash hamda boshlang‘ich funksiyani aniqlash operatsiyalari orasidagi munosabatni beradi.

Ahamiyati: Bu teoremani amalda zamonaviy dunyodagi barcha ilg‘or texnika va texnologiyalarning asosini tashkil qiluvchi tenglama deyish mumkin. Bunga asoslanib bajariladigan hisoblashlar, maydonlarni, egri chiziq, yoki jismlarning hajmi va ho kazolar bo‘yicha hisoblashlarda asosiy o‘rin tutadi. Ko‘plab tabiat qonunlarini ifodalashda hamda differensial tenglamalar manbasi sifatida olimlar uch qadrlidir.

Bugungi kun uchun dolzarbligi: Eng optimal yechim talab qilinadigan har qnaday matematik masala uchun ushbu formula markaziy o‘rin tutadi. Tibbiyot, iqtisodiyot hamda informatikada ham o‘rni beqiyos.

4.Nyutonning Butun olam tortishish nazariyasi.Butun olam tortishish qonuni, Nyutonning tortishish qonuni — moddiy zarralarning o‘zaro tortishishi to‘g‘risidagi qonun; tabiatning universal qonuni. Massalari t1 va t2 bo‘lgan va bir-biridan g masofada turgan moddiy zarralarning o‘zaro tortishish kuchi ushbu formuladan topiladi: G‘= Gmlm2/r2; bunda: G — gravitatsion doimiy. Moddiy zarralar deganda o‘lchamlari shu zarralar orasidagi masofadan ancha kichik jismlar, ya’ni moddiy nuqtalar tushuniladi. Real jismlarning o‘zaro tortishish kuchini aniqlash (o‘lchamlari, shakllari va zichliklarini hisobga olgan holda) uchun shu jismlar shartli ravishda parchalanadigan alohida mayda zarralar juftlari orasidagi o‘zaro ta’sir kuchlarining geometrik yig‘indisini topish lozim. Demak, ikki shar orasidagi o‘zaro tortishish kuchini yuqoridagi formuladan topish mumkin ekan (buning uchun g sifatida sharlar markazi orasidagi masofani qabul qilish lozim).

Nyutonning butun olam tortishish nazariyasi tenglamasi gravitatsion o‘zaro ta’sirlarni yaqqol ifodalab beradi.

Ahamiyati: Ushbu nazariya va uning asosiy tenglamasiga ko‘ra, ikkita obyekt orasidagi gravitatsiya kuchini hisoblash mumkin. Garchi ushbu nazariya keyinchalik Albert Eynshteyn tomonidan fandan siqib chiqarilgan bo‘lsa hamki, lekin uning asosiy tenglamasi obyektlarning bir-biri bilan qanday o‘zaro ta’sirlashayotganini amalda ifodalash uchun zarurdir. Chunonchi muhandislar ushbu formuladan bugungi kunda ham, sun’iy yo‘ldoshlarning orbitalarini hamda trayektoriyalarini hisoblashda keng foydalanishadi.

Bugungi kun uchun dolzarbligi: Nyutonga mansub ushbu mumtoz formula, sun’iy yo‘ldoshlarni hamda, kosmik zondlarni orbitaga chiqarish amaliyotida eng maqbul, energo-samarador yo‘lni topish uchun qo‘llanmoqda. Bu orqali esa, biz sun’iy yo‘ldosh tekanallaridan foydalanamiz, uyali aloqa vositasida boshqa qit’alardagi insonlar bilan suhbatlashamiz, koinot qa’rini kuzatamiz va ho kazo.

5.Kompleks sonlar - {\displaystyle a+bi} koʻrinishidagi sonlar, bunda {\displaystyle a} va {\displaystyle b} haqiqiy sonlar, {\displaystyle i} esa mavhum birlik{\displaystyle i^{2}=-1} shartni qanoatlantiruvchi mavhum birlikda kompleks sonning haqiqiy qismi, b esa mavhum qismi deyiladi; b=Q boʻlganda Kompleks son haqiqiy, feO va a=0 boʻlganda Kompleks son — sof mavhum son boʻladi. Har bir a+b Kompleks son geometrik jihatdan tekislikning koordinatalari a va b dan iborat nuqtalari orqali tasvirlanadi. Agar bu nuqtaning qutb koordinatalarini g va j orqali belgilasak, u holda mos Kompleks sonni r(cos

I. Muavr formulasi kelib chiqadi: (cosq> + sincp)" = cos"
{\displaystyle \mathbb {C} } bilan belgilanadi. {\displaystyle \mathbb {C} } maydon haqiqiy sonlar maydonining kengaytirilganidir. Tarixan kompleks son ikkinchi darajali tenglamalarni yechish munosabati bilan kiritilgan. Kub tenglamaning haqiqiy ildizlarini topish masalasi kompleks son ustida amallar bajarishni talab qiladi.^[1]

Ahamiyati: Kompleks sonlarsiz aksariyat zamonaviy nou-xaularni, jumladan raqamli foto- va videokameralarni ixtiro qilishning imkoni bo‘lmas edi. Bundan tashqari, komleks sonlardan foydalanib, muhandislar aviasozlikka oid qator murakkab masalalarni hal etishgan.

Bugungi kun uchun dolzarbligi: Elektrotexnikada va murakkab matematik nazariyalarda keng qo‘llaniladi.

6.Poledrlarning Eyler tavsifi.Ahamiyati: Istisnosiz ravishda faqat uzluksizlik xossalari tekshiriladigan topologik fazo (fazoviy topologiya) sohasida katta ahamiyat kasb etadi. Muhandislar va biologlar uchun muhim matematik vosita sanaladi.

Bugungi kun uchun dolzarbligi: Eyler tavsifiga binoan topologiya, DNK ning funksiyalari va harakatini tekshirish uchun biomuhandislik sohasida keng qo‘llanilmoqda.

7.Me’yoriy taqsimot.Ahamiyati: Ushbu teorema, zamonaviy statistikaning asosi hisoblanadi. Tabiiy va ijtimoiy fanlarning aksariyatining rivojida aynan ushbu teoremaning qo‘llanishi katta o‘rin tutgan.

Bugungi kun uchun dolzarbligi: Tibbiyotga ixtisoslashgan ilmiy tekshirish muassasalaridagi klinik tadqiqotlarda, yangi dori vositalarining samaradorligi hamda nojo‘ya ta’sirlari orasidagi qiyosiy solishtirish uchun qo‘llaniladi.

8.To‘lqin tenglamasi.To'lqin jarayonining xarakteristikasi deb muhit zarrachalarining muvozanat holatlaridan siljishiga aytiladi. Siljishning vaqtga va koordinataga bog'liqligi to'lqin tenglamasi deb ataladi.To‘lqinlar harakatini tavsiflovchi differensial tenglama.

Ahamiyati: Bu tenglamaning ham ahamiyati juda beqiyos. Xossatan undan yer qimirlashlarini bashorat qilishda, okeanlarda sunami xavfini chamalashda foydalaniladi.

Bugungi kun uchun dolzarbligi: Geologik qidiruv ishlarida, yer ostt ma’danlarini, neft, gaz va ho kazo konlarini izlashda, kondan qaytgan tovish to‘lqinlari xossalarini tahlil qilish va bu orqali konning geologik hamda iqtisodiy ahamiyati haqida xulosa qilish uchun foydalaniladi.

9.Furye almashtirishlari - Bu formula Parseval formulasining umumlashgani boʻlib, Plansharel teoremasi deyiladi. Fizika nuqgai nazaridan, tebranma harakat energiyasi uning garmonik komponentlari energiyalarining yigʻindisiga teng ekanligini biddiradi.Furye almashtirishlari operatorini yuqorida aytilgan maʼnoda integrallanuvchi funksiyalardan koʻra umumiyroq funksiyalar sinfiga, chunonchi baʼzi bir umumlashgan (sekin oʻsuvchi) funksiyalar sinfiga ham qoʻllash mumkin. Furye almashtirishlari Bessel funksiyalariga nisbatan umumlashtirilgan. Undan tashqari, ehtimollar nazariyasida keng qoʻllaniladigan FuryeStiltyes almashtirishi ham bunga misol boʻladi. Furye almashtirishlari dastlab issiqlik oʻtkazish nazariyasida qoʻllanilib, keyinchalik u matematikaning koʻpgina muhim sohalarida differensial, integral tenglamalarni yechigsda, maxsus funksiyalar nazariyasida va boshqalarda qoʻllanilib kelmoqda.

Ahamiyati: Ushbu tenglama murakkab shablonlarni qismlarga taqsimlash, tozalash, hamda, tahlil qilishda qo‘llaniladi.

Bugungi kun uchun dolzarbligi: Axborot texnologiyalari sohasida Furyen almashtirishlarining ahamiyati cheksiz. Xususan u .JPG formatli tasvirlarni siqishda, musiqiy dasturlarni tuzishda keng qo‘llaniladi. Molekulalar strukturasini tekshirishda ham ushbu formula asosiy o‘rin egallaydi.

10.Navye-Stoks tenglamasi. Gidrodinamika (gidro... va dinamika) — mexanikaning siqilmaydigan suyuqliklar harakati va ularning qattiq jismlar bilan oʻzaro taʼsirini oʻrganadigan boʻlimi. Gidrodinamika suyuqliklar va gazlar mexanikasining eng rivojlangan qismi boʻlib, gaz dinamikasita oid masalalar ham shu boʻlimda oʻrganiladi. Suyuqliklarning nazariy modelini tuzish asosida yotuvchi fizik xossalari katoriga ularning uzluksizligi yoki tutashligi, yaʼni suyuqlikni tavsiflovchi fizik koʻrsatkichlarning fazoda uzluksiz taqsimlanishi, yengil harakatlanishi yoki oquvchanligi kiradi. Gidrodinamika nazariyasida tutashlik va oquvchanlikka, shuningdek suyuklik ichidagi ishqalanishni tavsiflovchi qovushoqlikka ega boʻlgan suyuqlik harakatini tavsiflash uchun uzluksizlik tenglamasi va Navye-Stoks tenglamasidan foydalaniladi. Ushbu tenglamalar suyuqlikning elementar hajmiga massa va harakat miqdorining saqlanish qonunlarini tatbiq qilish natijasidir. Ularni umumiy holda yechish ancha murakkab boʻlib, ayrim xususiy hollarda va ushbu soddalashtiruvchi taxminlardagina yechim oxi riga yetkazilishi mumkin: qovushoqlik mavjud emas (ideal suyuqlik) — bu hol gidrodinamikaning Eyler tenglamalariga olib keladi; kichik qovushoqlik holi (havo, suv), uyurmasiz yoki potensial oqim; turgʻunlashgan, yassi oʻqaviy simmetrik bir oʻlchamli harakat. Suyuqlik ayrim elementar hajmlarining jadal aralashuvi bilan ifodalanuvchi turbulent harakat holida vaqt boʻyicha "oʻrtachalashgan" suyuqlik modeli ishlatiladi. Gidrodinamika tenglamalarining ushbu hollar va b. hollarda yechishda oʻxshashlik mezonlaridan foydalanuvchi oʻxshashlik nazariyasiga asoslangan gidrodinamik tajribalardan foydalaniladi.

Ahamiyati: Kompyuterlar shu kabi murakkab masalalarni hal etishga yaraydigan darajaga yetgach, ushbu tenglamaning yechilish va undan kelib chiquvchi ilmiy xulosalar asosida, fizikaning mutlaqo yangi sohasi kashf etildi. O‘ta murakkab, va juda foydali fan sohasi bo‘lgan ushbu yo‘nalish jumladan aerodinamik transport vositalarining harakat va xavfsizlik ko‘rsatkichlarini yaxshilashga xizmat qiladi.

Bugungi kun uchun dolzarbligi: Eng katta ahamiyati – zamonaviy yo‘lovchi tashish samolyotlarining aerodinamik xossalarini yaxshilashga xizmat qilganidir.

11. 
    Maksvell tenglamasi -makroskopik elektrodinamikaning ixtiyoriy muhitda sodir boʻlayotgan elektromagnit hodisalarni ifodalaydigan asosiy tenglamalari. Maksvell tenglamalari, odatda, integral koʻrinishda yoziladi, ammo differensial tenglamalar koʻrinishida ham yozilishi mumkin. 19-asr 60-yillarida J. K. Maksvell elektr va magnit maydonlar haqidagi M. Faradey gʻoyalariga asoslangan holda tajriba yoʻli bilan aniqlangan qonunlarni umumlashtirib, ixtiyoriy zaryadlar va toklar tizimi hosil qiluvchi elektromagnit maydonning tugallangan nazariyasini yaratdi. Maksvell nazariyasi klassik fizikaning rivojlanishiga qoʻshilgan ulkan hissa boʻldi. Mexanikada Nyuton qonunlari qanday ahamiyatli boʻlsa, makroskopik elektrodinamikada Maksvell tenglamalari ham shunday ahamiyatlidir. Maksvell tenglamalarining birinchisi Faradeyning elektromagnit induksiya krnunining matematik ifodalanishidan iborat. Bugungi kun uchun dolzarbligi: Biz uchun o‘ta ahamiyatli bo‘lgan zamonaviy texnika vositalari – mobil aloqa, televideniye va radio, hamda radarlar ushbu tenglamaga muvofiq ishlaydi.
    

12. 
    Termodinamikaning ikkinchi bosh qonuni.
    

Termodinamika (yun. termo issiq, dynamis — kuch) — termodinamik muvozanat holatida turgan makroskopik tizimlarning umumiy xossalariga bu holatlar orasidagi utish jarayonlari toʻgʻrisidagi fan. Termodinamikaning ikkinchi bosh qonun i quyidagicha: issiqlik energiyasi ishga aylanish jarayonida toʻliq miqdorda ishga aylanmaydi, issiqlik sovuq tizimdan issiq tizimga oʻzoʻzidan oʻta olmaydi. Bu qonunni R. Klauzius taʼriflagan (1850). Bu konunga asosan, har qanday mashina uzatilgan issiklikni toʻliq ishga aylantira olmaydi, issiklikning maʼlum qismi sovitkichda qoladi (qarang Karno sikli).

Ahamiyati: Bu formula ilm-fanga entropiya tushunchasini kititish orqali energiya hamda Koinot fizikasi sohalarida tub burilishlar yasagan. O‘z davri uchun keltirgan eng katta ahamiyati, bug‘ dvigatellarining samaradorligini orttirishga xizmat qilgan.

Bugungi kun uchun dolzarbligi: Moddalrning atomlardan tashkil topganligini isbotlashda katta o‘rin tutgan. Hozirgi zamon fizikasi uchun ham ahamiyati katta.

13.Eynshteynning nisbiylik nazariyasi. Energiya – massa hamda yorug‘lik tezligi kvadratining o‘zaro ko‘paytmasiga teng

Ahamiyati: Aytish mumkinki, nafaqat ilm-fan, balki butun insoniyat tarixidagi eng mashhur formula. U odamzotning borliq, koinot, materiya, massa va real voqe’lik haqidagi azaliy tasavvurlarini tubdan o‘zgartirib yuborgan.

Bugungi kun uchun dolzarbligi: Yadroviy texnologiyalarni tayyorlashda, hamda GPS-navigatsiya tizimlarida qo‘llaniladi.

14.Shryodinger tenglamasi-Shryodinger tenglamasi - kvant mexanikanit asosiy tenglamasi. E. Shryodinger taklif qilgan (1926). Kvant mexanikada mikrozarra (elektron, proton, yadro, atom va boshqalar)ning holati toʻlqin funksiya yoki ksifunksiya (\\/) bilan tavsiflanadi. Shryodinger tenglamasi oldindan maʼlum boʻlgan munosabatlardan nazariy keltirib chiqarilmaydi, balki uni boshlangʻich asosiy faraz deb hisoblab, uning toʻgʻriligini undan kelib chiqadigan natijalarning tajriba maʼlumotlariga juda aniq mos tushishi bilan isbotlanadi.Materiyani zarracha sifatida emas, balki to‘lqin tarzida tavsiflashni ilgari suradi.

Ahamiyati: Fizikada inqilob yasagan formulalr qatoriga kiradi. Fiziklarning materiya haqidagi tasavvurlarni yangi bosqichga olib chiqqan.

Bugungi kun uchun dolzarbligi: Yarimo‘tkazgichlar hamda, tranzistorlarning ixtiro qilinishda katta ahamiyatga ega bo‘lgan. Zamonaviy mikrolektron texnikalarning, jumladan kompyuter texnikasining asosini aynan yarimo‘tkazgichlar tashkil qiladi.

15.Shennoning informatsion entropiyasi. Belgilarning ehtimolligini hisoblash orqali kodning bir qismidagi axborot hajmini baholaydi.

Ahamiyati: Ta’bir joiz bo‘lsa, aynan ushbu tenglama axborot va axborotlashtirish asriga eshik ochib bergan.

Bugungi kun uchun dolzarbligi: Barcha dasturiy texnologiyalardagi dastur algoritmi, va kodlardagi xatolikni aniqlash bilan bog‘liq hamma vositalar shu tenglamaga suyanadi.

16.Populyatsiyaning o‘sishini ifodalovchi logistik model.Resurlarning cheklangan sharoitida, tirik organizmlarning populyatsiyasining avloddan avlodga o‘tish jarayonlaridagi o‘zgarishlarini baholashda qo‘llanaliadi.

Ahamiyati: Tabiiy tizimlarning qandat tartib va muvozanat asosida rivojlanishini, hamda xaos nazariyasini tushunishda katta ahamiyat kasb etgan.

Bugungi kun uchun dolzarbligi: Ob-havoni oldindan bashorat qilishda qo‘llanilmoqda.

17.Blek-Skouls modeli.Zamonaviy fond-birjalardagi narh-navo shakllanishida (shakllantirilishida) treyderlar uchun asosiy matematik vositalardan biri bo‘lib xizmat qiladi.

Ahamiyati: Bir necha trillion dollar moliyaviy daromad keltirgan ushbu formula va uning hosilalari, ba’zi ekspertlarning fikriga ko‘ra, noto‘g‘ri qo‘llanilishi oqibatida 2008-yilgi jahon iqtisodiy inqirozida sabab bo‘lgan emish. Xossatan, ushbu formularning real moliya bozorlari uchun mutlaoq to‘g‘ri kelmaydigan bir necha hosilalari, hamda xulosalari mavjuddir.

Bugungi kun uchun dolzarbligi: Iqtisodiy inqirozdan keyin ham, moliyaviy bozorlarda narx-navo shakllantirishida foydalanilmoqda.

Quyida qayd etilganlardan tashqari, ilm-fanda va odamzot hayotida katta o‘zgarishlarga sabab bo‘lgan yana qator matematik tenglama hamda formulalar mavjud. Misol tariqasida, Hojin-Xaksli formulasini, yoki, Kalman filtrini, yoinki, Google ning qidiruv tizimi formulasini qayd etish o‘rinlidir. O‘ylaymanki, ushbu maqola orqali, matematikaning insoniyat uchun qanchalik katta ahamiyatga ega ekanligi haqida muayyan tushuncha bera oldik va ushbu betakror va jozibador fanga nisbatan qiziqishnigizni yanada kuchaytira oldik…

Foydalanilgan adabiyotlar ro’yhati

1.O’zbekiston Milliy EnsiklopediyasiT:”O’zbekiston Milliy Ensiklopidiyasi” Davlat ilmiy nashriyoti.

2. Yan Styuart. “Noma’lumni izlab: dunyoni o‘zgartirgan 17 ta tenglama” London, 2012y

3. www.google.com

4.www.ziyonet.uz