Иммиграцияли Беллман-Харрис тармоқланиш жараёнини яшаш даври

Иммиграцияли Беллман-Харрис тармоқланиш жараёнини яшаш даври
Машраббоев Ахмадали
НамДУ математик анализ кафедраси доценти,
Умматалиев Умиджон Икромжон уғли
НамДУ 2-курс магистранти.


билан иммиграция дискрет вақтда рўй берувчи тармоқланишжараёнини ҳосил қилувчи функциясини белгилаймиз, — билан узлуксиз вақтда иммиграция рўй берувчитармокланиш жараёнини ҳосил қилувчи функциясини белгилаймиз ( вақтда k— та заррачани келиб кўшилиш эҳтимоллиги агар
Ҳар бир иммиграцияланувчи заррача "0"ёшга эга бўлиб кейинчалик Беллман-Харрисни [1,137-180 б.] тармоқланиш жараёни схемаси бўйича — "ёш" тақсимот қонунга эга ва бевосита авлодларни тақсимотини ҳосил қилувчи функцияси . .
Бундан кейин барча ҳолларда (+0)=0 деб ҳисоблаймиз.
- иммиграциясиз оддий Беллман-Харрис жараёнидаги "0 ёшли битта заррачани t - вақтдаги кўпайишлари сони, билан (t) - жараёни n-нчи авлодидаги заррачалари сонини белгилаймиз. Жараённи қуйидаги моделларини кўриб ўтамиз:
а) Иммиграция шундай вақт моментида рўй берадики, яъни у қандайдир панжара ҳосил қилади; бу ҳолда тақсимот функцияни ўсиш нуқтаси иммиграция моменти билан устма-уст тушади, лекин ҳаммаси билан шарт эмас. Масалан: Ўсишнинг тақсимотини максимал қадами иммиграция моментлари орасидаги минимал масофадан катта бўлиши мумкин.
Бу ҳолда умумийликни бузмаган ҳолда иммиграция бутун сонли вақт моментида рўй беради деб фараз қилиш мумкин, шунинг учун заррачани ёши бутун қийматларни қабул қилади;
Биз келтирадиган теоремалар юқоридаги натижаларни умумлаштиради, яъни кўпайиш жараёни Беллман-Харрис бўлган ҳол учун [4] даги А.М.Зубков леммасига мос лемма 1 ни исбот учун бутунлай бошқача йўл тутишга тўғри келади, бундан ташқари олинган натижалар янги, А.М.Зубков тасдиқларидан эса бутунлай фарқ қилади."
Биз юқорида айтганимиздек а) схемани кўриб ўтамиз. Яъни иммиграция дискрет вақтда рўй беради, ўсиш эса узлуксиз тақсимланган.
r—тасодифий микдорни ўрганишда жараёни, тасодифий миқдорни бошланғич даври билан уни биринчи марта нолга тушиш моментини хисоблашда айрим қийинчиликлар туғилади, буни ечиш учун қўшимча изланишлар олиб бориш керак бўлади. Шунинг учун а) ва б) схемаларни алоҳида қараш мақсадга мувофиқдир.
Моментда бошланғич иммиграцияли жараённи яшаш даври r узунликка эга деб атаймиз, агарда заррачалар сони (T-0)=0, (t)>0 барча _{T t} ва
( +T)=0 бўлса.
(t)— жараённи траекторияси ўнгдан узлуксиз деб фараз қилайлик.
Фараз қилайлик
_{= (1)< , = (0), = (1)< , (0)= <0} (1)
( t ) = {r > t} (2)
агар а) схема қаралаётган бўлса
(s (t)
агар иммиграция узлуксиз вақтли бўлса, у ҳолда
(s (t)dt (3)
Лемма 1. Агар а) схема қаралаётган бўлса, у ҳолда
(s (4)
бу ерда.
(S)= , (S) =
(k) = P{ (5)
(
(t,s) = (0)= 1} . (6)
Юқоридагиларни ҳисобга олган ҳолда тўла эҳтимоллик формуласидан қуйидагини ҳосил қиламиз:
P{ (0) = (0)>0}P{ (0) = n =
= (t,0) (t) = (t) (7)
Иккинчи томонда
P{ (0) = 0}= (8)
(7) ва (8) ни -га кўпайтириб t бўйича йиғсак, у ҳолда
=
A(s) ва u(s) ни аниқлаб, охирги ифодадан қуйидагини ҳосил қиламиз:
,
ёки худди шундай

Бу ифода эса (4) га эквивалент бўлади.
Теорема: Фараз = (1) ва (1) шарт бажарилган бўлсин. Агар <1, µ= P(t)<∞ бўлса, y xолдa (t) t ,бўлади.
Адабиётлар
Севостъянов Б.А. Ветвящиеся процесси. М, Наука, 1971.

1. 
   Бадалбоев И.С., Машраббоев А. Периоди жизни ветвящегося процесса Беллмана-Харриса с иммиграцией. — В сб.: Вероятностние распределения и математическая статистика. Ташкент: Фан, 1986, с. 60-82.
   
2. 
   Athreya К.В., Ney P. Branching processes. Berlin et al, shringer, 1972,XI. 287pp.
   
3. 
   Зубков A.M. Периоди жизни ветвящегося процесса с иммиграцией, - Теор.вероятн. и ее примен., 1972, т. VIII, el, c. 179-188.