Impuls tásirine ushıraǵan differenciallıq teńlemeler haqqında tusinik

Impuls tásirine ushıraǵan differenciallıq teńlemeler
haqqında tusinik


1. Impuls tásirine ushıraǵan differenciallıq teńlemeler anıqlaması
2. Impuls tásirine ushıraǵan differenciallıq teńlemelerdiń klassifikaciyası
3. Impuls tásirine ushıraǵan differenciallıq teńlemelerdiń sızıqlı sisteması
Meyli M -bazı–bir evolyutsiyalıq protsesstin’ fazalıq ken’isligi bolsın, yag’nıy protsesstin’ mu’mkin bolg’an jag’dayının’ ko’pligi. Protsesstin’ waqıt momentindegi jag’dayın sa’wlelendiriwshi funktsiyanı arqalı belgileymiz. Protsesstin’ o’zi shekli o’lshemli dep esaplanadı, yag’nıy tayınlang’an waqıt momentinde protsesstin’ jag’dayın an’latıw ushın shekli sandag’ı, ma’selen , parametr kerek boladı. Sonday uyg’arıwda, ha’r bir tayınlang’an waqıt momentinde noqatı o’lshemli Evklid ken’isliginin’ vektorı sıpatında interpretatsiya qılınadı, M ko’pligi bolsa ken’isligindegi ko’plik sıpatında qarastırıladı. M fazalıq ken’isligi menen haqıyqıy sanlar ko’sherinin’ topologiyalıq ko’beymesi qaralıp atırg’an evolyutsion protsesstin’ ken’eytirilgen fazalıq ken’isligi dep ataladı.
Qaralıp atırg’an evolyutsiyalıq protsesstin’ nızamı:
a) (1.1.1)
tu’rindegi differentsiallıq ten’lemeler sisteması;
b)ken’eytirilgen fazalıq ken’isliginde berilgen bazı-bir ko’pligi;
v) ken’isliginde anıqlang’an ha’m onı ken’eytirilgen fazalıq ken’isliginin’ ko’pligine sa’wlelendiriwshi operatorı ja’rdeminde an’latıladı.
Protsesstin’ o’zi to’mendegishe a’melge asadı. Waqıttın’ baslang’ısh momentinde noqattan shıqqan protsessti su’wretlewshi noqat (1.1.1)ten’lemeler sistemasının’ sheshimi arqalı anıqlanatug’ın iymek sızıg’ı boyınsha noqatının’ ha’reketi bul noqattın’ ko’pligi menen ushırasıw waqtı momentine shekem dawam etedi. Waqıttın’ momentinde noqat ko’pliginin’ noqatına tu’sedi ha’m operatorının’ ta’sirine ushıraydı, na’tiyjede jag’dayınan jag’dayına “bir zamatta” o’tkiziledi ha’m ha’reketin noqatınan baslap, (1.1.1)ten’lemeler sistemasının’ sheshimi arqalı anıqlanatug’ın iymek sızıg’ı boyınsha dawam ettiredi. Bul iymek sızıq boyınsha noqatının’ ha’reketi bul noqattın’ ko’pligi menen ekinshi ma’rte ushırasıw waqtı momentine shekem dawam etedi. Waqıttın’ momentinde noqat ko’pliginin’ noqatına ekinshi ma’rte tu’sedi ha’m operatorının’ ta’sirine ekinshi ma’rte ushıraydı, na’tiyjede jag’dayınan jag’dayına “bir zamatta” o’tkiziledi ha’m ha’reketin noqatınan baslap (1.1.1)ten’lemeler sistemasının’ sheshimi arqalı anıqlanatug’ın iymek sızıg’ı boyınsha ko’pligi menen ja’ne bir ma’rte ushırasqansha dawam ettiredi ha’m basqalar.
Protsesstin’ evolyutsiyasın sa’wlelendiretug’ın a)-v) an’latpalarına impuls ta’biyatlı ta’sirge ushırag’an differentsiallıq ten’lemeler sisteması delinedi. Ken’eytirilgen fazalıq ken’isliginde noqatının’ ha’reketi a’melge asatug’ın iymek sızıg’ı impuls ta’biyatlı ta’sirge ushırag’an differentsiallıq ten’lemeler sistemasının’ integral iymek sızıg’ı dep ataladı. İntegral iymek sızıg’ın beretug’ın funktsiyası impuls ta’biyatlı ta’sirge ushırag’an differentsiallıq ten’lemeler sistemasın, yag’nıy a)-v) an’latpaların qısqasha ko’riniste
(1.1.2)
ko’rinisinde jazıladı.
Sonday qılıp (1.1.2) sistemanın’ sheshimi ko’pliginin’ sırtında (1.1.2) differentsiallıq ten’lemeler sistemasın qanaatlandıratug’ın ha’m ko’pliginde sekiriwshi
(1.1.3)
formulası ja’rdeminde anıqlanatug’ın birinshi tu’r u’ziliske iye bolg’an funktsiyası boladı.
İmpuls ta’biyatlı ta’sirge ushırag’an differentsiallıq ten’lemeler sistemasının’ sheshimleri:

1. 
   Bir zamatlıq ta’sirge ushıramag’an sheshimler – bunday sheshimler jag’dayında (1.1.1) ten’lemeler sistemasının’ integral iymek sızıqları ko’pligi menen yamasa ulıwma kesilispeydi, yamasa kesilisedi ha’m kesilisiw noqatları operatorının’ qozg’almas noqatları boladı.
   
2. 
   Bir zamatlıq ta’sirge shekli ma’rte ushırag’an sheshimler – bunday sheshimler jag’dayında (1.1.1)ten’lemeler sistemasının’ integral iymek sızıqları ko’pligin shekli sanlı noqatlarda kesip o’tedi ha’m bul noqatlar operatorının’ qozg’almas noqatları emes.
   
3. 
   Bir zamatlıq ta’sirge sanaqlı ma’rte ushırag’an sheshimler – bunday sheshimler jag’dayında (1.1) ten’lemeler sistemasının’ integral iymek sızıqları ko’pliginin’ sanaqlı sandag’ı noqatlarda kesip o’tedi bul noqatlar operatorının’ qozg’almas noqatları bolmaydı.
   

İmpuls ta’biyatlı ta’sirge ushırag’an differentsiallıq ten’lemeler sistemasının’ integral iymek sızıqları ko’pligi menen sanaqlı sandag’ı ulıwma noqatlarg’a iye sheshimler ishinen ko’pligi ta’repinen jutılatug’ın (waqıttın’ bazı-bir momentinen baslap ko’pliginde qalatug’ın) yamasa qoyıwlanıw noqatına iye sheshimlerdi ajıratıp alamız.
ko’pligi ta’repinen jutılatug’ın traektoriyalar boyınsha ha’reketti sa’wlelendiriwshi noqatının’ ha’reketinde waqıttın’ bazı- bir momentinen baslap noqatı jag’dayınan jag’dayına, keyin jag’dayınan jag’dayına, keyin jag’dayınan jag’dayına ha’m basqa o’tkiziledi. ko’pliginde bolsa qoyıwlanıw noqatına iye traektoriya boyınsha noqatının’ ha’reketinde waqıt momentinde umtılg’anda noqatı ko’pligin sanaqlı ma’rte ushıratadı ha’m sanaqlı ma’rtedegi ko’pliginen shıg’ıp ketedi. Usı sebepten bunday ha’reketti waqıttın’ momentinde dawam ettiriw mu’mkin bolmay qaladı. Bunday ha’reketler menen xarakterlenetug’ın real protsesslerde noqatı do’gereginde ha’rekettin’ sıpatı ta’repinen jan’a formasının’ payda bolıwı ko’zde tutıladı yamasa bunday ha’reketke alıp keliwshi fizikalıq sha’rtler noqatında real bolmaydı ha’m usı sebepli sonday fizikalıq sha’rtlerdi basqa fizikalıq sha’rtler menen almastırıw za’ru’rligi kelip shıg’adı.
İmpuls ta’biyatlı ta’sirge ushırag’an differentsiallıq ten’lemelerdi u’yreniwde a’dettegi differentsiallıq ten’lemeler teoriyasına tiyisli ma’seleler kelip shıg’ıwı menen bir qatarda ayrıqsha spetsifik xarakterdegi ma’seleler de ko’p ushıraydı. Bunday ma’selelerdin’ xarakteri ko’binese operatorının’ qa’siyetlerine baylanıslı boladı. Ma’selen, operatorının’ bir ma’nisli bolıwı talap qılınbasa ha’reketti sa’wlelendiriwshi noqatı ko’pligi menen ushırasıwı na’tiyjesinde maydalanıp, bir neshe noqatqa aylanıp ketiwi menen baylanıslı ma’selelerge iye bolamız. Eger operatorının’ o’z-ara bir ma’nislilik sha’rti talap qılınbasa, onda bir-birinen baylanıssız ha’rekettegi noqatlar ko’pligi menen ushırasıw momentinde bir zamatta bir noqatqa aylanıp ha’reketti dawam ettiriwi menen baylanıslı ma’seleler payda boladı.
Eger bazı-bir ushın Ø bolsa, onda ha’reketti sa’wlelendiriwshi noqatı ko’pligi menen ushırasıw momentinde operatorının’ ta’sirine ushırap, bir zamatta bos ko’plikke o’tkiziledi. Bul jag’dayda noqat Vojel boyınsha “o’ledi” delinedi. Sog’an baylanıslı noqatının’ ortasha jasaw waqtı yamasa onın’ waqıt aralıg’ında “o’liw” itimallıg’ı haqqındag’ı ma’selege kelemiz.
noqatının’ ko’pligi menen na’wbettegi eki ma’rte ushırasıw da’wiri aralıg’ında protsesstin’ evolyutsiyasın sa’wlelendiretug’ın differentsiallıq ten’lemelerdin’ ha’r qıylılıg’ı ha’m operatorının’ ha’r qıylılıg’ı impuls ta’biyatlı ta’sirge ushırag’an differentsiallıq ten’lemelerdin’ klassifikatsiyası haqqındag’ı ma’seleni sheshiwge ımkanıyat beredi. Usı sebepli impuls ta’biyatlı ta’sirge ushırag’an differentsiallıq ten’lemelerdi klassifikatsiyalaw impuls ta’sirdin’ xarakterine baylanıslı a’melge asırıladı. İmpuls ta’sirdin’ xarakterine baylanıslı, impuls ta’biyatlı ta’sirge ushırag’an differentsiallıq ten’lemelerdi u’sh tipke ajıratadı:

1. 
   Tayınlang’an waqıt momentlerinde impuls ta’biyatlı ta’sirge ushırag’an sistemalar;
   
2. 
   Ha’reketti sa’wlelendiriwshi noqatı ken’eytirilgen fazalıq ken’isliginde berilgen betligi menen ushırasıw momentinde impuls ta’biyatlı ta’sirge ushıraytug’ın sistemalar;
   
3. 
   U’ziliske iye dinamikalıq sistemalar;
   

İmpuls ta’biyatlı ta’sirge ushırag’an differentsiallıq ten’lemelerdin’ joqarıda keltirilgen tiplerinin’ ha’r birine toqtalmastan aldın impulslı sistemalardag’ı ha’reketlerdin’ ha’r qıylılıg’ın anıq ko’rsetiw maqsetinde bir mısal keltiremiz.
Mısal. Meyli protsesstin’ fazalıq ken’isligi tuwrı sızıq, ko’pligi: ko’rinisindegi, operatorı bolsa
ten’ligi menen anıqlang’an (1.1.1) differentsiallıq ten’lemeler sisteması bolsa ko’rinisinde berilgen bolsın. Yag’nıy,
(1.1.4)
ko’rinisindegi impuls ta’biyatlı ta’sirge ushırag’an differentsiallıq ten’lemeler sistemasın qarastıramız.
1) (1.1.4) sistemasında waqıttın’ baslang’ısh momentinde sha’rtin qanaatlandıratug’ın noqatınan baslanatug’ın ha’r qanday ha’reket impuls ta’sirge ushıramaydı, yag’nıy tınısh jag’dayında boladı, sebebi tezlik no’lge ten’ ha’m integral iymek sızıqlar waqıttın’ ma’nislerinde (1.1.4) sistemasının’ integral iymek sızıqları ko’pligi menen ushırasa almaydı.
2) ma’nisinde sha’rtin qanaatlandıratug’ın ha’r bir noqatınan baslanatug’ın ha’r qanday ha’reket shekli sandag’ı impuls ta’sirine ushıraydı, yag’nıy ha’rekettin’ integral iymek sızıg’ı ko’pligi menen shekli sandag’ı noqatlarda ushırasadı. Ha’r bir bunday ha’rekette integral iymek sızıq ko’pligine tu’setug’ın waqıttın’ momentin ko’rsetiw mu’mkin, yag’nıy waqıttın’ momentlerinde ha’reket impuls ta’sirine ushıramaydı. Bunday ha’r bir ha’rekettin’ traektoriyası shekli sandag’ı noqatlardan ibarat boladı. Mısal ushın waqıttın’ baslang’ısh momentinde noqattan baslanatug’ın ha’rekettin’ traektoriyası ha’m noqatları boladı, waqıttın’ baslang’ısh momentinde (0,1) intervalının’ qa’legen noqatınan baslanatug’ın ha’reket sanaqlı ma’rte impuls ta’sirine ushıraydı. Bunday ha’reketlerde (1.1.4) sistemanın’ sa’ykes integral iymek sızıg’ı ko’pligi menen sanaqlı ma’rte ushırasadı ha’m ten’ligi orınlanadı. Usı menen birge sheshimnin’ traektoriyası (0,1) intervalına tiyisli noqatlardın’ sanaqlı ko’pligi boladı. Mısal ushın waqıttın’ baslang’ısh momentinde noqattan baslanatug’ın ha’rekettin’ traektoriyası ko’rinisindegi (0,1) intervalının’ noqatları boladı. noqatlarınan o’tetug’ın traektoriyalar da ko’pligi menen shekli sandag’ı noqatlarda kesilisedi, biraq bul traektoriyalar boyınsha ha’reket impuls ta’sirge ushıramaydı. Bul jag’dayda integral iymek sızıqlar ko’pligin operatorının’ qozg’almas noqatlarında kesip o’tedi, usı sebepli traektoriyalar tınısh noqatlarınan ibarat boladı.
Eskertiw. Waqıttın’ baslang’ısh momentinde (0,1) intervalının’ qa’legen noqatınan baslanatug’ın ha’reket sanaqlı ma’rte impuls ta’sirine ushıraydı, biraq basqa ko’rip o’tilgen ha’reketlerden o’zgesheligi bul ha’reketlerdin’ shekli waqıt aralıg’ında o’tiwinde.
Bul jag’dayda qarastırılg’an mısallardan (1.1.4) sistemasının’ sheshiminin’ ko’pligine urınıw qa’siyetin, yag’nıy waqıttın’ jeterli qısqa aralıg’ında integral iymek sızıqlar ko’pligi menen jeterli ko’p (shekli, sheksiz) ma’rte ushırasıwın bahalaymız. Ma’selen, waqıttın’ momentinde noqatlardan baslanatug’ın ha’reketler jeterli ko’p ma’rte impuls ta’sirine ushıraydı, biraq impuls ta’sirine ushırawlar sanı shekli edi. Waqıttın’ momentinde (-1,0) intervalına tiyisli noqatlardan baslanatug’ın ha’reketler waqıttın’ intervalında sanaqlı ma’rte impuls ta’sirine ushıraydı ha’m sistema impuls ta’sirine ushıraw momentleri ushın limit noqatı boladı. Usı sebepten bunday ha’reketlerge sa’ykes keliwshi (1.1.4) sistemanın’ sheshimi ma’nislerinde dawam ettirilmeydi.
Ko’rip shıg’ılg’an (1.1.4) sistemasıda mu’mkin bolg’an ha’reketler menen birge impuls ta’biyatlı ta’sirge ushıraytug’ın sistemada ha’r integral iymek sızıqtın’ bazı-bir waqıt momentinde bir integral iymek sızıqqa aylanıwın ko’rsetiw mu’mkin. Mısal ushın waqıttın’ momentinde ha’m noqatlardan shıg’atug’ın traektoriyalarg’a sa’ykes keletug’ın eki integral iymek sızıqlar waqıttın’ momentinde noqattan shıg’atug’ın traektoriyanın’ integral iymek sızıg’ına birigip ketedi.