In Vivo Dosimetry using Plastic Scintillation Detectors for External Beam Radiation Therapy

APPENDIX 
A – Derivation of Approximate Energy Level Spacing via the Free Electron 
Perimeter Model 
The pi-bonds parallel to the plane of an aromatic hydrocarbon allow electrons to move 
freely along the perimeter of the molecule. If the perimeter of the molecule is 
approximated as a circle, the wavefunction of the electrons must satisfy the following 
relationship: 
𝜓𝜓(𝜃𝜃) = 𝜓𝜓(𝜃𝜃 + 2π) 
(A.1) 
where 
θ is the angular position of an electron along the circle. This simply means that the 
wavefunction can take only one value at a given point on the circle. The wavefunction 
must therefore be either periodic or constant. Equation A.2 satisfies this requirement: 
𝜓𝜓(𝜃𝜃) = 𝐶𝐶 ∙ 𝑒𝑒
𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖
(A.2) 
In this equation q is a quantum number to allow any periodicity and C is a normalization 
constant. The energy levels, E, associated with this wavefunction can be obtained by 
solving the Schrödinger equation, 
𝐸𝐸𝜓𝜓 = 𝐻𝐻𝜓𝜓, where H is the Hamiltonian operator. If the 
circle is assumed to be equipotential, the only term in the Hamiltonian is the kinetic 
energy. When this Hamiltonian is expressed using quantum mechanical operators in 
angular coordinates, the Schrödinger equation becomes: 
𝐸𝐸𝜓𝜓 =
−ℏ
2
2𝑚𝑚
1
𝑟𝑟
2
𝜕𝜕
2
𝜓𝜓
𝜕𝜕𝜃𝜃
2
(A.3) 
The differential on the right side can be evaluated to determine the energy levels. 
109 

---

𝜕𝜕
2
𝜓𝜓
𝜕𝜕𝜃𝜃
2
=
𝜕𝜕
2
𝜕𝜕𝜃𝜃
2
𝐶𝐶𝑒𝑒
𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖
(A.4) 
= −𝑞𝑞
2
𝐶𝐶𝑒𝑒
𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖
(A.5) 
= −𝑞𝑞
2
𝜓𝜓 
(A.6) 
Substituting this into equation A.3 gives the final expression (note that 
𝜓𝜓 cancels out): 
𝐸𝐸 =
ℏ
2
𝑞𝑞
2
2𝑚𝑚𝑟𝑟
2
(A.7) 
With this equation in hand, consider benzene. Benzene has six pi electrons. Since each electron 
can take on one of two spin values and can move in one of two directions around the perimeter 
of the molecule (for states with q > 0), each state with q > 0 is doubly degenerate, and the q = 0 
state is singly degenerate (Birks 1964). The lowest energy configuration consists of two electrons 
occupying q = 0, and four electrons occupying q = 1. This is the base state of the molecule. 
Excitation of a pi electron from q = 1 to q = 2 corresponds to the first excited state of the 
molecule (S
1
in figure 2.3). De-excitation is responsible for scintillation. If the electron mass and 
approximate radius of benzene are substituted into equation A.7 for q = 1 and q = 2, the 
difference in the calculated energies is 6.4 eV. This is close to the actual transition energy of 4.8 
eV despite the simplifying assumptions made. 
110 

---