Информационных

МИНИСТЕРСТВО ПО РАЗВИТИЮ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И КОММУНИКАЦИЙ РЕСПУБЛИКИ

ТАШКЕНТСКИЙ ИМЕНИ
ФАКУЛЬТЕТ МОБИЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ




КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО САМОСТОЯТЕЛЬНО
№1
Выполнил:Мадалиев Тохиржон 209-2 Проверил: Имамов Эркин

1. Введение

2. 
   Скорость 3.Угловая скорость
   

4. Ускорение

5. 
   Угловое ускорение 6.
   

Угловой скоростьюназывают скорость вращения тела, определяющуюся приращением угла поворота тела за некоторый промежуток (единицу) времени.
Обозначение угловой скорости: ω (омега).

Рассмотрим некоторое твердое тело, вращающееся относительно неподвижной оси.

С этим телом свяжем воображаемую плоскость П, которая совершает вращение вместе с заданным телом.

Вращательное движение определяется двугранным углом φ между двумя плоскостями, проходящими через ось вращения. Изменение этого угла с течением времени есть закон вращательного движения:

Положительным считается угол, откладываемый против хода часовой стрелки, если смотреть навстречу выбранному направлению оси вращения Oz. Угол измеряется в радианах.

Быстрота изменения угла φ (перемещения плоскости П из положения ^П1 ^{в положение П}2^{) – это и есть угловая скорость:}


Приняв вектор kкак единичный орт положительного направления оси, получим:

Вектор угловой скорости – скользящий вектор: он может быть приложен к любой точке оси вращения и всегда направлен вдоль оси, при положительном значении угловой скорости направления ωи kсовпадают, при отрицательном – противоположны.

Формулы угловой скорости

Формула для расчета угловой скорости в зависимости от заданных параметров вращения может иметь вид:

1. 
   если известно количество оборотов n за единицу времени t:
   

2. 
   если задан угол поворота φ за единицу времени:
   

3. 
   если известна окружная скорость точки тела v и расстояние от оси вращения до этой точки r:
   

Размерности угловой скорости:

• 
  Количество оборотов за единицу времени [об/мин], [c^-1].
  
• 
  Угол поворота за единицу времени [рад/с].
  

Определение угловой скорости

Пример:Диск вращается относительно своего центра.
Известна скорость v некоторой точки A, расположенной на расстоянии
r от центра вращения диска.

Определить величину и направление угловой скорости диска ω, если v = 5 м/с, r = 70 см.

Таким образом, угловая скорость диска составляет 7,14 оборотов в секунду. Направление угловой скорости можно определить по направлению скоростей её точек.

Вектор скорости точки A стремится повернуть диск относительно центра вращения против хода часовой стрелки, следовательно, направление угловой скорости вращения диска имеет такое же направление.


Другие примеры решения задач >





Угловое ускорениехарактеризует величину изменения угловой скорости при вращении твердого тела:

Обозначение: ε (Эпсилон)

Единицы измерения углового ускорения: [рад/с²], [с^-2]

Вектор углового ускорения так же направлен по оси вращения. При
ускоренном вращении их направления совпадают, при замедленном — противоположны.

Другими словами, при положительном ускорении угловая скорость нарастает (вращение ускоряется), а при отрицательном — уменьшается (вращение замедляется).

Для некоторых частных случаев вращательного движения твердого тела могут быть использованы формулы:

• 
  равномерное вращение (ω — const)
  

• 
  равнопеременное вращение (ε — const)
  

Расчет углового ускорения

Пример:По заданному значению касательной составляющей полного ^{ускорения a}τ ^{точки B, расположенной на расстоянии r от центра} вращения колеса.

Требуется определить величину и направление углового ускорения ^{колеса ε, если a}τ^{=10м/с2, r=50см.}

Угловое ускорение колеса в заданный момент времени составляет 20 оборотов за секунду в квадрате. Направление углового ускорения определяется по направлению тангенциального ускорения точки.

Здесь, угловое ускорение направлено противоположно направлению угловой скорости вращения колеса. Это означает, что вращение колеса замедляется.

В технике угловая скорость часто задается в оборотах в минуту n [об/мин]. Один оборот – это 2πрадиан:

Например, тело совершающее 1,5 оборота за одну секунду имеет угловую скорость

ω=1,5с^-1=9,42рад/с.

Углова́ я ́ рость — векторная величина, характеризующая
быстроту и направление вращения материальной точки или абсолютно твёрдого тела относительно оси вращения. Модуль угловой скорости для вращательного движения совпадает с мгновенной угловой частотой вращения, а направление перпендикулярно плоскости вращения и связано с направлением вращения правилом правого винта. Строго говоря, угловая скорость представляется псевдовектором (аксиальным вектором), и может быть также представлена в виде
В трёхмерном пространстве вектор угловой скорости по величине равен углу поворота точки вокруг центра вращения за единицу времени:
а направлен по оси вращения согласно правилу буравчика, то есть в ту сторону, в которую ввинчивался бы буравчик или винт с правой резьбой, если бы вращался в эту сторону. Другой мнемонический подход для запоминания взаимной связи между направлением вращения и направлением вектора угловой скорости состоит в том, что для условного наблюдателя, находящегося на конце вектора угловой скорости, выходящего из центра вращения, само вращение выглядит происходящим противчасовой стрелки.
Угловая скорость является аксиальным вектором (псевдовектором). При отражении осей системы координат компоненты обычного вектора (например, радиус-вектора точки) меняют знак. В то же время компоненты псевдовектора (в частности, угловой скорости) при таком преобразовании координат остаются прежними.
ус-вектора точки) меняют знак. В то же время компоненты псевдовектора (в частности, угловой скорости) при таком преобразовании координат остаются прежними.

Тензорное представление[править | править код]

В другом языковом разделе есть более полная статьяAngular velocity#Angularvelocitytensor(англ.).

Единицы измерения[править | править код]
Единица измерения угловой скорости, принятая в Международной системе единиц (СИ) и в системах СГС и МКГСС, — радиан в секунду (русское
обозначение: рад/с, международное: rad/s)^{[2][Комм 1]}. В технике также используются обороты в секунду, намного реже — градусы, минуты, секунды дуги в секунду, грады в секунду. Часто в технике используют обороты в минуту — это идёт с тех времён, когда частоту вращения тихоходных паровых машинопределяли просто на глаз, подсчитывая число оборотов за единицу времени.

Свойства[править | править код]
Вектор мгновенной скорости любой точки абсолютно твёрдого тела, вращающегося с угловой скоростью , определяется формулой:
где — радиус-вектор к данной точке из начала координат, расположенного на оси вращения тела, а квадратными скобками обозначено векторное произведение. Линейную скорость (совпадающую с модулем вектора скорости) точки на определённом
расстоянии (радиусе) от оси вращения можно считать так: Если вместо радианов применять другие единицы измерения углов, то в двух последних формулах появится множитель, не равный единице.

• 
  В случае плоского вращения, то есть когда все векторы скоростей точек тела всегда лежат в одной плоскости («плоскости вращения»), угловая скорость тела всегда перпендикулярна этой плоскости, и по сути — если плоскость вращения заведомо известна — может быть заменена скаляром — проекцией на ось вращения, то есть на прямую, ортогональную плоскости вращения. В этом случае кинематика вращения сильно упрощается. Однако в общем случае угловая скорость может менять со временем направление в трёхмерном пространстве, и такая упрощенная картина не работает.
  

• 
  Движение с постоянным вектором угловой скорости называется равномерным вращательным движением (в этом случае угловое ускорение равно нулю). Равномерное вращение является частным случаем плоского вращения.
  
  • 
    Производная угловой скорости по времени есть угловое ускорение.
    
  • 
    Угловая скорость (рассматриваемая как свободный вектор) одинакова во всех инерциальных системах отсчёта, отличающихся положением начала отсчёта и скоростью его движения, но двигающихся равномерно прямолинейно и поступательно друг относительно друга. Однако в этих инерциальных системах отсчёта может различаться положение оси или центра вращения одного и того же конкретного тела в один и тот же момент времени (то есть будет различной «точка приложения» угловой скорости).
    
  • 
    В случае движения точки в трёхмерном пространстве можно написать выражение для угловой скорости этой точки относительно выбранного начала координат:
    

где — радиус-вектор точки (из начала координат),

• 
  скорость этой точки, — векторное произведение,
  
• 
  скалярное произведение векторов. Однако эта формула не определяет угловую скорость однозначно (в случае единственной
  

точки можно подобрать и другие векторы подходящие по определению, по-другому — произвольно — выбрав направление оси вращения), а для общего случая (когда тело включает более одной материальной точки) — эта формула не верна для угловой скорости
всего тела (так как даёт разные для каждой точки, а при вращении абсолютно твёрдого тела вектора угловой скорости вращения всех его точек совпадают). Однако в двумерном случае (случае плоского вращения) эта формула вполне достаточна, однозначна и корректна, так как в этом частном случае направление оси вращения заведомо однозначно определено.

• 
  В случае равномерного вращательного движения (то есть движения с постоянным вектором угловой скорости) абсолютно твёрдого тела декартовы координаты точек вращающегося так тела совершают гармонические колебания с угловой (циклической) частотой, равной модулю вектора угловой скорости.
  
• 
  При измерении угловой скорости в оборотах в секунду (об/с) модуль угловой скорости равномерного вращательного движения совпадает с частотой вращения f, измеренной в герцах (Гц), то есть в таких
  

единицах В случае использования обычной физической единицы угловой скорости — радианов в секунду — модуль угловой скорости
численно связан с частотой вращения так: Наконец, при использовании градусов в секунду численная связь с частотой
вращения будет:

Связь с конечным поворотом в пространстве[править | править код]

• 
  Пусть поворот, изменяющийся во времени, задан величиной угла
  

и ортом оси конечного поворота в пространстве Тогда угловая скорость, соответствующая этому повороту, равна

• 
  Если поворот задан матрицей поворота где — символ
  

Кронекера, — символ Леви-Чивиты (суммирование ведётся по правилу Эйнштейна от 1 до 3), выражение для элементов которой
через и могут быть получены, например, с помощью формулы Родрига, то угловая скорость равна

• 
  Если для описания поворота используется кватернион, выражаемый через угол и орт оси поворота как то угловая скорость находится из выражения
  

В случае, когда поворот описывается с помощью вектора изменяющегося во времени, обозначим а также — матрица
половинного поворота — квадрат модуля вектора В случае плоского вращения, то есть когда все векторы скоростей точек тела всегда лежат в одной плоскости («плоскости вращения»), угловая скорость тела всегда перпендикулярна этой плоскости, и по сути — если плоскость вращения заведомо известна — может быть заменена скаляром — проекцией на ось вращения, то есть на прямую, ортогональную плоскости вращения. В этом случае кинематика вращения сильно упрощается. Однако в общем случае угловая скорость может менять со временем направление в трёхмерном пространстве, и такая упрощенная картина не работает. Рассмотрим твердое тело, которое вращается вокруг неподвижной оси. Тогда отдельные точки этого тела будут описывать окружности разных радиусов, центры которых лежат на оси вращения. Пусть некоторая точка движется по окружности радиуса R (рис.6). Ее положение через промежуток времени Δ t зададим углом . Элементарные (бесконечно малые) углы поворота рассматриваются как векторы. Модуль вектора dφ равен углу поворота, а его направление совпадает с направлением поступательного движения острия винта, головка которого вращается в направлении движения точки по окружности, т.е. подчиняется правилу правого винта Угловой скоростью называется векторная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени:


Вектор направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта, т.е. так же, как и вектор (рис.7).
В векторном виде формулу для линейной скорости можно написать как векторное произведение:


.
Если =const, то вращение равномерное и его можно характеризовать периодом вращения Т – временем, за которое
точка совершает один полный оборот, т.е. поворачивается на угол 2 .Так как промежуток времени Δt=Т соответствует , то , откуда
Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном его
движении по окружности в единицу времени,


называется вращения , откуда


Угловым ускорением называется векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени:


.
При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости. При ускоренном движении вектор сонаправлен вектору (рис. 8), при замедленном - противонаправлен ему (рис.9).
Тангенциальная составляющая ускорения


и .
Нормальная составляющая ускорения


Таким образом, связь между линейными (длина пути s, пройденного точкой по дуге окружности радиуса R, линейная скорость , ^{тангенциальное ускорение а, нормальное ускорение а}n^{) и угловыми}
величинами (угол поворота , угловая скорость , угловое ускорение
) выражается следующими формулами:
^{s=Rφ, =R, а}т^{=R, а}n^=2R.
В случае равнопеременного движения точки по окружности (=const):


^=o ^{±t, , где}0 ^{- начальная угловая скорость.}

2. 
   Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела
   
   1. 
      Первый закон Ньютона. Масса. Сила
      

Динамика является основным разделом механики, в ее основе лежат три закона Ньютона, сформулированные им в 1687 г. Законы Ньютона играют исключительную роль в механике и являются (как и все физические законы) обобщением результатов всего человеческого опыта.
Первый закон Ньютона: всякая материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит ее изменить это состояние.
Стремление сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называетсяинертностью. Поэтому первый закон Ньютона называют также законом инерции.
Механическое движение относительно, и его характер зависит от системы отсчета. Первый закон Ньютона выполняется не во всякой системе отсчета, а те системы, по отношению, к которым он выполняется, называютсяинерциальными системами отсчета. Инерциальной системой отсчета является такая система, которая либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно относительно какой-то другой инерциальной системы. Первый закон Ньютона утверждает существование инерциальных систем отсчета.