Инновации в науке

Примеры устойчивости по части переменных. 
Если уравнения динамики системы записаны в каноническом 
виде и существует k первых интегралов, то по теореме 
Арнольда [6; 7; 19; 20] фазовые траектории лежат на k – мерном 
многообразии. Движение системы является условно периодическим. 
В общем случае для системы дифференциальных уравнений 
в нормальной форме могут выполняться первые интегралы, которые 
определяют интегральные многообразия как пересечение соответст-

---

 
 Инновации в науке
www.sibac.info № 11 (48), 2015 г. 
40 
вующих поверхностей. Это множество называют равновесным или 
стационарным режимом системы. 
Наличие возмущений и управляющих воздействий может также 
влиять на свойства положений равновесия и возможные стационарные 
равновесные состояния. Известны математические модели [2; 6; 16] 
в задачах взаимодействия видов Лотки или Вольтера:
,
.
dx
dy
ax
bxy
cy
hxy
dt
dt


  
(12) 
Система имеет два стационарных решения. В том числе 
получается особая точка, которую на фазовой плоскости окружают 
замкнутые 
кривые 
периодических 
колебаний 
численности 
конкурирующих видов в зависимости от параметров системы 
и начальных 
условий. 
Модификацию 
модели 
с 
учетом 
самоограничения численности, которую предложил Базыкин, можно 
представить в виде системы уравнений: 
2
2
( , , ),
( , , ).
dx
dy
ax bx
f x y u
cy
hy
g x y u
dt
dt



  

(13) 
Начало координат является особой точкой типа «неустойчивый 
узел». Существуют еще три варианта возможных особых точек. Для 
учета 
влияния 
возмущений 
или 
управлений 
предлагаются 
модификации и дополнения, упрощающие оценку устойчивости 
выделенных решений. В зависимости от начальных условий 
и значений коэффициентов уравнений могут проявляться устойчивые 
или неустойчивые колебательные режимы. 
Уравнения можно представить в общем виде, где возмущения 
зависят от управляющих параметров или функций u(t). В правой части 
системы нелинейных уравнений можно выделить линейную 
и квадратичную зависимость от фазовых переменных: 
).
,
,
(
)
,
(
t
u
x
f
Bx
x
Ax
dt
dx



(14) 
Особенностью задачи является существование линейных 
по фазовым переменным интегралов, которые позволяют понизить 
порядок и проводить дальнейшее исследование устойчивости 
по упрощенным уравнениям для оставшихся после исключения 
фазовых переменных. Каждое из возможных положений равновесия 

---