Innovatsiyalar vazirligi

Misol. ni aniqlikda hisoblang.
Yechish. funksiyaning Makloren formulasidan foydalanamiz.

formulada deb olsak, u holda

masala shartiga ko‘ra xatolik dan katta bo‘lmasligi kerak, demak

tengsizlik o‘rinli bo‘ladigan birinchi ni toppish yetarli. ekanligini e’tiborga olsak, so‘ngi tengsizlikni quyidagicha yozib olish mumkin:

Endi qiymatlarni so‘ngi tengsizlikka qo‘yib tekshiramiz va bu
tengsizlik dan boshlab bajarilishini topamiz. Shunday qilib, aniqlikda

Xususiy holda, bo’lganda
taqribiy hisoblash formulasi aniqlikda o‘rinli bo‘ladi.
Misol. Differensial yordamida radiusi bo‘lgan doira yuzini toping. Hisoblash xatoligini baholang.
Yechish. Doira yuzi ga teng. Bunda deb olamiz va funksiya orttirmasini uning differensiali bilan almashtiramiz:

Natijada
hosil bo‘ladi.
Bunda hisoblash xatoligi
dan katta emas. va ga bog‘liq emas, shu sababli

Demak, hisoblash xatoligi 0,000314 dan katta emas.
Misol. Ushbu funksiyaning nuqtadagi qiymatini differensial yordamida hisoblang. Xatolikni baholang.
Yechish. Taqribiy hisoblash formulasi
da qiymatlarni qo‘ysak,
bo‘lib, xatolik
bo‘ladi.
Berilgan funksiya hosilalarini va nuqtadagi qiymatlarini hisoblamiz:
bundan bundan Olingan natijalardan foydalanib, va ekanligini topamiz.
Teylor formulasi funksiyalarni ekstremumga tekshirishda, qatorlar nazariyasida, integrallarni hisoblashlarda ham keng tatbiqqa ega.
Ushbu
(1)
funksiyani (n - darajali ko`phadni) qaraylik, bunda va - haqiqiy sonlar. Bu lar quyidagicha ham aniqlanishi mumkin:
(1) tenglikda deyilsa,
bo`ladi;
funksiyani differentsiallab,

va bu tenglikda deb

bo`lishini topamiz.
funksiyani ikki marta differentsiallab

va bu tenglikda deb topamiz:

Bu jarayonni davom ettira borib, da

bo`lishini topamiz.
Natijada ko`phad quyidagi ko`rinishga keladi:
(2)

Demak, ko`phad o`zining hamda hosilalarining biror nuqtasidagi qiymati bilan to`liq aniqlanar ekan. (2) formula ko`phad uchun Teylor formulasi deyiladi.

Ma’lumki, funksiyaning qiymatlarini hisoblash ma’nosida ko‘phadlar eng sodda funksiyalar hisoblanadi. Shu sababli funksiyaning nuqtadagi qiymatini hisoblash uchun uni shu nuqta atrofida ko‘phad bilan almashtirish muammosi paydo bo‘ladi.
Nuqtada differensiallanuvchi funksiya ta’rifiga ko‘ra, agar funksiya nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda uning shu nuqtadagi orttirmasini
ya’ni

ko‘rinishda yozish mumkin.
Boshqacha aytganda nuqtada differensialanuvchi funksiya uchun birinchi darajali ko’phad mavjud bo’lib, da bo’ladi. Shuningdek, bu ko’phad shartlarni ham qanoatlantiradi.
Misol. bo`lsin.
Agar bo`lsa, u holda bo`lib, bo`ladi.
Agar bo`lsa, u holda bo`lib, bo`ladi.
Agar bo`lsa, u holda bo`lib, da bu nisbatlarning limiti mavjud bo`lmaydi. Demak, berilgan funksiya nuqtada hosilaga ega bo`lmaydi.
Misol. bo`lsin.
a)  uchun

bo`lib,

bo`ladi.
b) uchun

bo`lib,

bo`ladi.
v) , uchun

bo`lib,

bo`ladi.
Demak, da