Integral tenglamalarni ketma-ket yaqinlashish metodi bilan yechish

Integral tenglamalarni ketma-ket yaqinlashish metodi bilan yechish.

1. 
   Fredgolm tenlamasini tqribiy yechish.
   

Bu metodda u(x) = (1)

Integral tenglamaning yechimini ning darajalariga nisbatan joylashgan
qator shaklida izlaymiz:
u(x) = (2)
Bu qatorni (1) tenglamaga qo`yib
]ds,

ning bir xil darajalari oldidagi koyfitsentlarni tenglashtirsak, natijada quydagilarga ega bo`lamiz:


(3)

Agar takrorlngan o`zak deb ataluvchi ushbu



……………………………..
Funksiyalarni kiritsak, u holda izlanayotgan funksiyalar uchun quydagi ifodalarga ega bo`lamiz :


Endi (2) qatorni quydagicha yoza olamiz:
u(x)=f(x)+ (x,s)f(s)ds+
=f(x)+
(4)
bunda
(5)
Integral tenglamaning rezolventasidir.
Faraz qilaylik, D={a sohada va bo`lsin,
U holda (3) formulalardan induksiya metodiga ko`ra

Tengsizlik o`rinli bo`ladi. Shuning uchun ham
(6)

tengsizlik bajarilganda (2), (4) va (5) qatorlar tekis yaqinlashadi. Integral tenglamaning taqribiy yechimi sifatida

ni olish mumkin, buning xatolig quydagiga teng:


Misol sifatida
u(x)= -

integral tenglamani yechimini topamiz. Bu yerda

va bo`lganligi uchun (6) yaqinlashish sharti bajariladi. Osonlik bilan ko`rish mumkinki,
(x)= ,


Bu ifodalarni (2) qatorga qo`yib aniq yechimni topamiz:
+
Xar doim ham bu misoldagina (3) integral aniq xisoblanmaydi. SHuning uchun
ham (3) integral uchun

Kvadrat funksiyani qo`llashga to`g`ri keladi.
Quydagicha belgilashlar kiritamiz:

Shu bilan birga ning taqribiy qiymatini va u( ning taqribiy
qiymatini deb belgilaymiz. U holda (3) foemuladan quydagiga ega bo`lamiz: