Интегральная формула Коши

3.2. Представимость голоморфных функций рядами Лорана в кольцевых областях

Если функция f(z) голоморфна в области D вида {r < | z − z₀ | < R}, то в ней она представима суммой ряда Лорана:

,

причём коэффициенты c_n могут быть вычислены по интегральным формулам:

,

а сам ряд Лорана сходится в D к функции f(z) равномерно на каждом компакте из D.
Формула для коэффициента c _{− 1} часто применяется для вычисления интегралов от функции f(z) по различным контурам, используя алгебраические методы и теорию вычетов.
Также в терминах рядов Лорана производится классификация изолированных особых точек голоморфных функций.

3.3. Теоремы о среднем для голоморфных функций

Если функция f(z) голоморфна в круге { | z − z₀ | < R}, тогда для каждого

а также если B_r — круг радиуса r с центром в z₀, тогда

Из теорем о среднем следует принцип максимума модуля для голоморфных функций: если функция f(z) голоморфна в области D и внутри D её модуль имеет локальный максимум, тогда эта функция есть константа.
Из принципа максимума модуля следует принцип максимума для вещественной и мнимой части голоморфной функции: если функция f(z) голоморфна в области D и внутри D её вещественная или мнимая часть имеет локальный максимум или минимум, тогда эта функция есть константа.

3.4. Теоремы о единственности

Из принципа максимума модуля и представимости голоморфных функций степенными рядами следуют ещё 3 важных результата:

• 
  лемма Шварца: если функция f(z) голоморфна в круге | z | < 1, f(0) = 0 и для всех точек z из этого круга , тогда всюду в этом круге ,
  
• 
  теорема единственности для степенных рядов: голоморфные функции, имеющие одинаковые ряды Тейлора в точке z₀, совпадают в некоторой окрестности этой точки,
  
• 
  теорема о нулях голоморфной функции: если нули функции f(z), голоморфной в области D имеют предельную точку внутри D, тогда функция f(z) равна нулю всюду в D.