Integrallash

M A’RUZA 9  

4.9. BO’LAKLAB INTEGRALLASH. RATSIONAL KASRLARNI SODDA 

KASRLARGA YOYIB INTEGRALLASH. TRIGONOMETRIK FUNKSIYALARNI 

INTEGRALLASH. 

Reja.  

1. Bo’laklab integrallash 

2. Kasr ratsional funksiya 

3. Sodda ratsional kasrlarni integrallash. 

4. Kasr ratsional funksiyalarni sodda kasrlarga keltirish. 

5. 



R(sinx,cosx)dx ko’rinishdagi integrallarni integrallash. 

6. J = 



R(sinx)cosxdx ko'rinishdagi integrallarni integrallash. 

7. J = 



R(tgx)dx ko’rinishdagi integrallarni  integrallash 

8. 







xdx

x

J

n

m

cos

sin

 ko’rinishdagi integrallarni  integrallash

  

9. 



cosmx



cosnxdx; 



sinmx



cosnxdx; 



sinmx



sinnxdx  (m



n)  ko’rinishidagi  integrallarni 

integrallash 

Tayanch so’zlar. Ko’phad, ratsional kasr, to’g’ri va noto’g’ri kasr, ko;phad ildizlari,karrali ildiz 

1. 

Bo’laklab integrallash. 

Agar x bo’yicha differensiallanuvchi bo’lgan u(x) , v(x) funksiyalar  berilgan  bo’lsa,  u  holda 

uv ko’paytmaning differensiali quyidagi formula bilan hisoblanar edi :

 

d(uv)=udv+vdu     (3)  

(3) ning har ikkala tomonini integrallasak:

 

∫d(uv) = ∫udv + ∫vdu    



    ∫udv = uv-∫vdu  (4)

 

(4)  formulaga  bo’laklab  integrallash  formulasi  deyiladi.  (4)  formula  ∫vdu   integralni  

hisoblash   ∫udv integralni hisoblashdan osonroq bo’lgan holda foydalaniladi.

 

Bo’aklab integrallash usuli bilan hisoblanadigan ayrim integrallarni  ko’rib o’taylik.

 

I.  ∫P(x)e

kx 

dx , ∫p(x)sinkx dx ,  ∫P(x)coskxdx, (P(x)  - ko’phad, k esa biror o’zgarmas   son) 

ko’rinishdagi  integrallarni  bo’laklab  integrallaganda  u=P(x),  qolganlarini    dv  deb  

olish maqsadga muvofiq  bo’ladi.

 

II.  ∫P(x)ln xdx , ∫P(x)arcsin x dx , ∫P(x)arccos x dx, ∫P(x)arctgx dx , ∫P(x)arcctg x dx,, ko’rinishdagi 

integrallarni    integrallaganda    u    deb  lnx,  arcsinx,  arccosx,  arctgx,  arcctgx  larni  olish 

kerak.

 

III. ∫e

ax

sinb 

x 

dx∫e

ax

cosbxdx, 

ko’rinishdagi 

integrallar  ikki 

martabo’laklab 

integrallanadi. 

1-misol. ∫xe

x

dx =

C

e

xe

dx

e

xe

e

v

dx,

e

dv

dx

du

x,

u

x

x

x

x

x

x





















 

2-misol.  

C

x

9

1

1nx

x

9

1

x

dx

3

x

1nx

3

x

1nx

3

x

3

x

v

dx,

x

dv

x

dx

du

1nx,

u

1nxdx

x

3

3

3

3

3

3

2

2































 

3-misol. J=∫e

x

cosxdx=

sinxdx

e

sinx

e

sinx

v

cosxdx,

dv

dx

e

du

,

e

u

x

x

x

x

















  

cosxdx

e

cosx

e

cosx

v

dx,

sinx

dv

dx

e

du

,

e

u

sinxdx

e

x

x

x

x

x























 

C

cosx)

(sinx

e

cosxdx

e

2

cosxdx

e

-

cosx

e

sinx

e

cosxdx

e

x

x

x

x

x

x



















C

cosx)

(sinx

e

2

1

cosxdx

e

x

x









 

2. Kasr ratsional funksiya  

Ma'lumki P

n

(x) a

0

x

n

+a

1

x

n-1

+...+a

n-1

x+a

n   

(a

0

≠0) (1)ko’phad butun ratsional funksiya deyiladi.

 

0)

b

0,

(a

b

x

b

...

x

b

x

b

a

x

a

...

x

a

x

a

(x)

Q

(X)

P

0

0

m

1

m

1

m

1

m

0

n

1

n

1

n

1

n

0

m

n































 

esa kasr ratsional funksiya deyiladi.

 

Butun va kasr ratsional funksiyalar umuman ratsional funksiyalar deb ataladi.

 

Butun ratsional funksiyalarni integrallash integralning asosiy xossalariga ko’ra bajariladi.

 

 ∫ P

n

(x) dx = ∫ (a

o

x

n

+a

1

x

n-1

+...+a

n-1

x+a

n

)dx = 

C

x

a

x

1

n

a

...

x

n

a

x

1

n

a

n

2

1

n

n

1

1

n

0

















 

Agar (2) kasr ratsional funksiya berilgan bo’lib nm 

bo’lsa (2) ga noto’g’ri kasr deyiladi.

 

Agar  kasr  noto’g’ri  bo’lsa,  suratini  maxrajiga  bo’lib,  berilgan  kasrni  biror  butun  ratsional 

funksiya bilan biror to’g’ri kasrning yig’indisi ko’rinishda ifodalash mumkin, ya'ni 

(x)

Q

(X)

P

m

n

=M(x)+ 

(x)

Q

(X)

P

m

k

,  bu  yerda  M(x)  -  butun  ratsional  funksiya, 

(x)

Q

(X)

P

m

k

    -  to’g’ri  kasr 

chunki  k

Ko’phadlarni integrallash hech  qanday qiyinchilik tug’dirmaydi, shuning uchun biz asosan to’g’ri 

ratsional kasrlarni integrallash bilan shug’ullanamiz.

 

Ta'rif.  Quyidagi to’g’ri ratsional kasrlarga eng sodda ratsional kasrlar deyiladi:

 

I. 

,...)

3

,

2

(

a)

(x

A

II.

;

a

x

A

n







n

 

III. 



















































0

q

4

p

D

2,3,...;

n

q)

px

(x

B

Ax

IV.

0

q

4

p

D

q

px

x

B

Ax

2

n

2

2

2

 

Bu yerda A,B,a,p,q lar haqiqiy sonlar 

q

px

x





2

 kvadrat uchhad haqiqiy ildizga ega emas, ya'ni 

D<0 deb qaraladi 

3. Sodda ratsional kasrlarni integrallash.

 

Endi yuqoridagi to’rtta eng sodda ratsional kasrlarni integrallashni ko’raylik. 

I. ∫ 

C

|

a

x

|

A1n

a

x

a)

d(x

A

a

x

dx

A 

















 

II. ∫ 

C

n)

n)(x

(1

A

a)

d(x

a)

(x

A

a)

(x

dx

A 

1

n

n

n























 

III.

  

q

px

x

dx

Ap

B

dx

p

x

dx









































2

2

2

2

)

2

(

q

px

x

2

2

A

q

px

x

B

2

Ap

p)

(2x

 

2

A

dx

q

px

x

B

Ax 

 

Oxirgi  tenglikning  o’ng  tomonidagj  birinchi  integral      ln|x

2 

tengligi  ravshan,  chunki 

surati maxrajining hosilasiga teng.

 

Ikkinchi integralda esa, quyidagi almashtirishlar bajaramiz.   

C

p

q

p

x

arctg

p

q

Ap

B

q

px

x

n

C

k

t

arctg

Ap

B

k

q

px

x

n

k

t

dx

Ap

B

q

px

x

d

dx

q

px

x

B

Ax





















































































































































2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

4

2

4

2

|

|

1

2

A

2

1

|

|

1

2

A

)

2

(

)

q

px

x

(

2

A

k

t

k

4

p

q

dt

dx

desak 

t 

2

p

x

4

p

q

2

p

x

q

px

x

 

Misollar. 

1. 

C

12x

x

2

7

4x

x

4

5

12)dx

7x

4x

(5x

2

3

4

2

3

















 

2. 

C

3)

4(x

7dx

C

3)

(x

4

7

dx

3)

(x

7

3)

(x

7dx

4

4

5

5































 

3. 

C

|

13

6x

x

|

1n

13

6x

x

13)

6x

d(x

dx

13

6x

x

6

2x

2

2

2

2



























 

4. 

C

3

4

x

arctg

3

11

9

4)

(x

4)

dx(x

11

9

4)

(x

dx

11

25

8x

x

11dx

2

2

2































 

Agar  maxrajdagi  kvadrat  uchhadning  diskriminanti  musbat  bo’lsa,  ya'ni  kvadrat  uchhad  haqiqiy 

ildizga ega bo’lsa integrallar jadvalidagi natural logarifmni beradi. 

5.  

C

1

x

5

x

1n

4

1

C

2

3

x

3

3

x

1n

2

2

1

4

3)

(x

dx

5

6x

x

dx

2

2





































 

VI.

n

2

n

2

n

2

n

2

q)

px

(x

)

2

(

q)

px

(x

)

2

(

2

A

q)

px

(x

)

2

Ap

(

p)

(2x

 

2

A

dx

q)

px

(x

B

Ax 











































dx

Ap

B

dx

dx

p

x

dx

B

 

O’ng tomonidagi birinchi integralni integrallasak 

C

q)

px

n)(x

(1

1

C

1

n

t

t

dt

dt

p)dx

(2x

t

q

px

x

q)

px

(x

p)dx

(2x

1

n

2

1

n

n

2

n

2

















































 

Ikkinchi integralni esa J

n 

deb belgilasak: 





























































































































n

n

n

n

n

n

n

k

t

dt

t

J

k

k

t

dt

t

k

k

t

dt

k

k

t

t

k

t

k

k

t

dt

k

p

q

t

p

x

p

q

p

x

dx

dx

)

(

1

)

(

1

)

(

1

)

(

1

)

(

4

,

2

4

2

q)

px

(x

J

2

2

2

1

2

2

2

2

2

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

n

2

n

 

 

Oxirgi integralni bo’laklab integrallasak 













  

;

)

(

;

)

(

2

2

2

2

2

n

n

k

t

tdt

dv

dt

du

t

u

k

t

dt

t





























1

2

2

2

2

2

2

)

)(

1

(

2

1

2

1

2

)

(

n

n

n

k

t

n

z

dz

dz

tdt

z

k

t

k

t

tdt

v

= 

1

)

1

(

2

1

)

)(

1

(

2

)

(

)

1

(

2

1

)

)(

1

(

2

1

2

2

1

2

2

1

2

2





































n

J

n

k

t

n

t

k

t

dt

n

k

t

n

t

n

n

n

 

J

n=

































1

2

2

1

1

2

)

)(

1

(

2

)

1

(

2

1

1

n

n

n

k

t

n

t

J

n

J

k

 







































1

1

2

2

2

2

2

2

2

3

2

)

)(

2

2

(

1

1

)

(

n

n

n

n

J

n

n

k

t

n

k

k

t

dt

J

  

(n



1) 

Bunga rekkurent (keltirish ) formulasi deyiladi.  

Shu jarayonni n marta davom ettirsak 

c

k

t

arctg

k

k

t

dt

J











1

)

(

2

2

1

 ga kelamiz. 

Misol. 

























































dt

dx

t

x

x

dx

x

x

dx

x

dx

x

x

x

x

x

dx

x

J

1

1

)

1

(

2

)

2

2

(

)

2

2

(

2

3

)

2

2

(

5

3

)

2

2

(

2

3

)

2

2

(

)

5

3

(

2

2

2

2

2

2

2

 















;

)

1

(

2

)

2

2

(

2

3

2

2

2

t

dt

x

x

 















































1

1

,

)

1

(

2

,

)

1

(

2

2

1

1

)

1

(

)

1

(

)

1

(

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

t

v

t

tdt

dv

dt

du

t

u

t

tdt

t

t

dt

t

dt

t

t

t

dt

J

 

=arctgt































C

arctgt

t

t

C

arctgt

t

acrtgt

t

dt

t

t

2

1

)

1

(

2

2

1

)

1

(

2

1

)

1

1

(

2

1

2

2

2

2

 

J

2

C

x

arctg

x

x

x

x

x

J

C

x

arctg

x

x

x





































)

1

(

2

2

1

)

2

2

(

2

3

  

)

1

(

2

1

)

2

2

(

2

1

2

2

2