Integrallash

5. 



R(sinx,cosx)dx ko’rinishdagi integrallarni integrallash. 

Biz  shu  paytgacha  algebraik  funksiyalarni  ya'ni  ratsional  va  irratsional  funksiyalarni 

integrallashni  ko’rdik.  Endi 



R(sinx,cosx)dx  (1)  ko’rinishdagi  integralni  ko’raylik.  Bu 

integralni  har  vaqt    tg

t

x



2

  (2)  almashtirish  yordamida  ratsionaJ  funksiyaning  integraliga 

keltirish mumkin. 

2

2

2

2

1

2

2

1

2

2

2

cos

2

sin

2

cos

2

sin

2

2

cos

2

sin

2

sin

t

t

x

tg

x

tg

x

x

x

x

x

x

x



















2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

2

1

2

1

2

sin

2

cos

2

sin

2

cos

2

sin

2

cos

cos

t

t

x

tg

x

tg

x

x

x

x

x

x

x

























 

2

1

2

2

2

t

dt

dx

arctgt

x

t

x

tg













 

Shunday qilib 



























2

2

2

2

1

2

;

2

1

1

cos

;

1

2

sin

t

dt

dx

arctgt

x

t

t

x

t

t

x

 

(3)  ni  (1)  ga  qo’ysak 



R(sinx,cosx)dx  = 



R

2

2

2

2

1

2

1

1

,

1

2

t

dt

t

t

t

t

























    ratsional  funksiyaning  integrali 

hosil  bo’ladi.  (2)  almashtirish    (1)  ko’rinishdagi  har  qanday  integralni  integrallashga  imkon 

beradi. Shuning uchun (2) gauniversal almashtirish  ham  deyiladi. 

Endi ba'zi bir xususiy hollarni ko’rib o’taylik.  

6. J = 



R(sinx)cosxdx ko'rinishdagi integrallarni integrallash. 

J  = 



R(sinx)cosxdx  ko'rinishdagi  integral  sinx=t,  cosxdx  =dt  almashtirish  bilan  J  = 



R(t)dt 

ko’rinishdagi ratsional funksiya'ning integraliga keladi. 

7. J = 



R(tgx)dx ko’rinishdagi integrallarni  integrallash 

 J = 



R(tgx)dx ko’rinishdagi integral  esa tgx=t , x=arctgt , dx =

2

1

t

dt



 almashtirish bilan 

J=



R(t) 

2

1

t

dt



ko’rinishga  keladi.   

8.







xdx

x

J

n

m

cos

sin

 integrallarni integrallash  







xdx

x

J

n

m

cos

sin

 integralda n va n larning bittasi toq bo’lsin, masalan n=2p+1 desak 



































dt

t

t

dt

xdx

t

x

xdx

x

x

xdx

x

x

xdx

x

J

p

m

p

m

p

m

p

m

)

1

(

cos

sin

cos

)

sin

1

(

sin

cos

cos

sin

cos

sin

2

2

2

1

2

 

-bu esa t ning ratsional funksional.   

J= 



sin

m

x-cos"xdx   integralda m va n lar juft bo’lib, ularning  bittasi  manfiy  bo’lsa      tgx=t  yoki 

ctgx=t almashtirish bajariladi.

 

Agar m,n lar manfiy bo’lmagan juft sonlar bo’lsa,  bu  holda  

 

2

2

1

1

s in

(1

c o s 2 ) , c o s

(1

c o s 2 )

2

2

x

x

x

x









   formuladan foydalaniladi. 

9.



cosmx



cosnxdx;   



sinmx



cosnxdx; 



sinmx



sinnxdx  (m



n)  ko’rinishidagi  integrallarni 

integrallash 

ko’rinishdagi integrallarni hisoblashda quyidagi formulalardan foydalaniladi: 

cosmx



cosnx=½



cos(m+n)x+cos(m-n)x



 

sinmx



cosnx=½



sin(m+n)x+sin(m-n)x



 

sinmx



sinnx=½



cos(m-n)x-cos(m+n)x



 

Misol 

1.J=

C

x

tg

x

tg

C

t

t

t

dt

t

dt

dx

t

t

x

x

dx







































2

2

2

2

ln

4

1

2

2

ln

4

1

4

1

2

;

1

1

cos

cos

5

3

2

2

2

2

 

2.

































C

t

t

dt

t

t

xdx

dt

t

x

xdx

x

x

xdx

x

5

3

)

1

(

cos

sin

cos

)

sin

1

(

sin

cos

sin

5

3

2

2

2

2

3

2

 

C

x

x







5

3

sin

5

1

sin

3

1

 

Mavzuni mustahkamlash uchun savollar: 

1. Ko’phad nima? 

2. Ratsional kasr nima? Ildiz nima? 

3. Ratsional kasr eng sodda kasrlarga qanday ajratiladi?  

4. Ratsional kasr sodda kasrlarga ajratishda qanday hollar bo’lishi mumkin? 

5. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishni bilasizmi? 

6. Maxraji kompleks ildizlarga ega bo’lgan holda ratsional kasrlar qanday integrallanadi?  

7.Trigonametrik funksiyalarni integrallashda qanday almashtiriahlar ishlatiladi? 

8.Qanday trigonometric funksiyalarni integrallashda 

tgx=t yoki ctgx=t almashtirish bajariladi?