International research journal

Базис перехода от коэффициентов разложения по функциям Чебышева-Эрмита к вейвлет-преобразованию 
Ранее, в работе [4] была рассмотрена возможность перехода от коэффициентов 
1
2
,
,...,
N
c c
c
кодирования сигнала в 
базисе функций Чебышева-Эрмита 
0
n
x
x



 




к вейвлет-преобразованию 
 
,
m
W
a b
этого сигнала при использовании 
в качестве вейвлета производной функции Гаусса m порядка (далее вейвлет-преобразование m порядка). Если сигнал 
 
S x
, закодированный в базисе функций 
0
n
x
x



 




по 
1
N

функциям (при 
0
n
N
 
) можно восстановить по 
выражению: 
 
0
0
,
N
n
n
n
x
x
S x
c





 





(1) 
где 
0
x
- величина сдвига функции Чебышева-Эрмита; 

- коэффициент масштаба функции Чебышева-Эрмита; 
то для восстановления вейвлет-преобразования 
 
,
m
W
a b
сигнала 
 
S x
 m порядка можно прибегнуть к подобному 
(1) выражению, в котором 
0
n
x
x



 




сменяются на функции 
 
,
,
m
n
W
a b

базиса перехода к вейвлет-преобразованию: 
 
 
,
0
,
,
,
n
N
m
n
m
n
W
a b
c W
a b




(2) 
где a – коэффициент масштаба вейвлета; 
b – коэффициент сдвига вейвлета; 
и сам базис записывается следующим образом: 
 


 
2
0
2
2
,
,
! !
,
,
n
n
x
b
d
m
m
n
e
m n
W
a b
H
I
a








(3) 
 
 



2
/2
2
2
,
2
0
0
2
2
/2
2
2
0
0
2
1
1
1
.
2
n
n
k
n
n
k
i
n
i
i
i
m
k
n
k
k
i
m
j
j m
j
m
m
l
h
l
l
j
m
j
j
l
H
t
C
p
C
t
a
p
a











 

 



  

 

 



 
 


 



 
 
 
 








(4) 
где 
2
2
h
n
k
i
m
j
l
 
 


. 
Базис (3) получен путем интегрирования произведения n-й базисной функции и вейвлета m порядка: 
 
0
,
1
,
.
n
m
n
m
x
x
x
b
W
a b
g
dx
a
a






















(5) 
Нетрудно заметить, что расчет (4) при высоких порядках m и n затруднителен в силу большого количества 
математических операций. Следовательно, и сам базис перехода к вейвлет-преобразованию (3) будет требовать все 
больше времени при увеличении числа используемых базисных функций, либо с увеличением порядка вейвлета. 
Следовательно, для эффективного применения базиса требуется сократить количество вычислительных процедур. 
Формирование рекуррентного представления базиса перехода от коэффициентов разложения по функциям 
Чебышева-Эрмита к вейвлет-преобразованию 
Одним из очевидных способов упростить расчет полинома (4) является его преобразование к рекуррентной форме, 
что априори возможно, поскольку известны рекуррентные формулы для составляющих данное выражение многочленов 
Эрмита [9]: 

---

Международный научно-исследовательский журнал ▪ № 1 (103) ▪ Часть 1 ▪Январь 
43 




2
2
2
1
2
2
1
2
1
1
2
1
,
n
n
n
H
t
p
t
p
H
t
p
n
H
t
p










 

 

 






















 







(6) 




2
2
2
1
2
2
1
1
1
1
2
1
,
m
m
m
He
t
a p
t
a p
H
t
a p
a
a
a
m
H
t
a p
a









































(7) 
где 


2
1
,
x
b
t
a p
a
a





2
0
1
,
x
x
t
p


 


0
0
2
2
2
,
x
b
x
b
p
a
d




 
2
2
,
d
a

 
2
2
0
2
2
,
a x
b
t
x
a
 
 
 
- замены, введенные в [4] для упрощения интегрирования. 
Для перехода (3) к рекуррентному представлению следует найти произведение (6) и (7). Обозначив данное 
произведение 
 
,
n
m
Hr
t

, а также, для упрощения записи, введя обозначения 
 
2
1
def
n
n
H
t
H
t
p





 







и 
 
2
1
def
m
m
He
t
He
t
a p
a












получим, после раскрытия скобок и приведения подобных членов: 
 
 
 


 
 
 
  

 
 


 
  

 
 


 
  


 
 
2
2
2
,
1
1
1
1
2
1
1
2
1
2
1
1
2
1
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
1
.
n
m
m
n
m
n
m
n
m
n
m
n
m
n
m
n
m
n
p a
Hr
t
t He
t H
t
t He
t H
t
a
a
m
a p He
t H
t
t He
t H
t
n
p m
He
t H
t
t He
t H
t
a
ap n
He
t H
t
n
m
He
t H
t

















 







 





 









(8) 
Поскольку каждый член (8) представляет собой, равно как и само выражение (8), произведение 
   
m
n
He
t H
t
, 
допускается ввести также для каждого члена (8) обозначение 
 
   
,
.
n
m
m
n
Hr
t
He
t H
t


Поскольку полином (8) находится под знаком интеграла при расчете вейвлет-преобразования (5), для упрощения 
интегрирования, за счет дистрибутивности суммы, следует внести множитель t под знак суммы и привести все 
множители t с различными степенями к одному основанию. Выполнив данные преобразования возможно совершить в 
выражении выше замену 
def
n
n
I
t

, которой соответствует табличный интеграл [10]: 
 


2
2
1
2
1
2
1 !!
,
mod 2
0,
0,
mod 2 1.
n
d
t
a
n
n
n
a
n
I
t
e
dt
n
d
n













 
 










(9) 
Данная замена необходима [4] для интегрирования в (5). 
Чтобы упростить дальнейшую запись выражений, введем следующее обозначение для полинома с внесенным под 
знак суммы множителем t: 

---

Международный научно-исследовательский журнал ▪ № 1 (103) ▪ Часть 1 ▪Январь 
44 
 
 
 



2
/2
2
,
,
0
0
2
2
/2
2
2
2
2
0
0
2
! !
1
1
1
.
2
n
n
n
k
n
n
k
i
h
h
n
m
m
k
k
i
m
j
j m
j
m
i
i
i
m
l
h
h
l
l
n
k
j
m
j
j
l
Hr
t t
t
Hr
t
m n
C
p
C
t
a
p
a















 



 



 

 



 
 

  






 
 
 
 








(10) 
Очевидно, правая часть (10) представляет собой 
 
,
! !
n
m
m n H
t

со степенью t под знаком суммы, соответствующей 
выбранным m, n, к котором добавляется степень множителя 
h
t

. В соответствии с (10) можно выполнить замену в (8), 
получив при этом: 
 
 


 
  

 


  

 


  


 
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
,
1,
1,
2
1,
2,
2,
1,
1,
2,
2
2
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
1
.
n
n
n
n
n
n
n
n
n
m
m
m
m
m
m
m
m
m
p a
Hr
t
Hr
t t
Hr
t t
a
a
m
a p Hr
t
Hr
t t
n
p m
Hr
t
Hr
t t
a
ap n
Hr
t
n
m
Hr
t









 
 
 
 
 
 
 
 
 



 



 

 


 


 





(11) 
Подставляя 
 
,
n
m
Hr
t

в (3) вместо 
 
,
! !
n
m
m n H
I

с соответствующей заменой 
n
n
I
t

получим: 
 


 
2
0
2
2
,
,
,
,
n
n
x
b
d
m
m
n
e
W
a b
Hr
I
a








(12) 
при 
этом, 
следуя 
терминологии, 
введенной 
в 
(11), 
в 
дальнейшем 
можно 
обозначать 




,
,
n
n
n
n
I
t
h
m
m
h
Hr
t t
Hr
I I








, при этом, аналогично (10), в явном виде такое обозначение будет иметь 
следующий смысл: 


 



2
/2
2
2
,
2
0
0
2
2
/2
2
2
0
0
2
! !
1
1
1
.
2
n
n
k
n
n
k
i
n
i
i
i
m
h
k
n
k
k
i
m
j
j m
j
m
m
l
l
l
j
m
j
h
h
j
l
Hr
I I
m n
C
p
C
I
a
p
a













 


 



  

 

 



 
 







 
 
 
 








(13) 
Сформировать из (12) рекуррентную формулу можно, если подставить в него выражение (11), раскрыть скобки и 
выделить в виде (12) все возможные отдельные 
 
,
,
n
m
W
a b

: 

---

Международный научно-исследовательский журнал ▪ № 1 (103) ▪ Часть 1 ▪Январь 
45 
 


 
 


  




 











 

1
1
2
0
2
2
2
2
0
2
1
1
1
2
,
2,
1,
2
1,
2,
2
2
2
2
1,
2
1,
1
2,
1
2
1
2
,
,
,
1
1
1
,
,
2
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
m
m
m
x
b
d
m
m
n
x
b
d
m
m
n
m
p m
a p
W
a b
W
a b
W
a b
n
n
ap n
n
m
e
W
a b
W
a b
n
n
a
p a
e
Hr
I I
Hr
I I
a
a
a
m
n
Hr
I I
Hr
a








 
 


 
 



 
 
 













 








 







 











2
1,
1
.
n
m
I I

 




(14) 
где: 
1
2
2
2
.
n
n
n
n
n


 



(15) 
Полученное выражение (14) хоть и ссылается на собственные члены низших порядков, но содержит также четыре 
члена 


1
1,
n
m
h
Hr
I I

 


, которые невозможно свести к виду (14), поэтому каждый из данных членов должен быть 
рассчитан отдельно, также рекуррентно, согласно выражению (11). За счет этого теряются преимущества в скорости 
вычислений, при этом запись базиса в виде (14) куда более громоздкая по сравнению с (12). Поскольку целью перехода 
к рекуррентной форме являлось упрощение вычислительного процесса, наиболее оптимальным способом 
формирования базиса перехода к вейвлет-преобразованию с вейвлетами-производными функции Гаусса, является 
предварительный расчет полиномов (11) рекуррентно с последующей подстановкой результата в (12).