Интерполяция

Download 0.67 Mb.

Bog'liq
Интерполяция

Интерполяция студент группы 71-21 Адашев Бекзод

Интерполяция — в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.
Часто из наборов значений или данных требуется построить функцию, на которую могли бы с высокой точностью попадать другие получаемые значения. Такая задача называется аппроксимацией кривой.

Линейная интерполяция - интерполяция алгебраическим двучленом P1(x) = ax + b функции f, заданной в двух точках x0 и x1отрезка [a, b] .

Геометрически это означает замену графика функции f прямой, проходящей через точки (x0,f(x0)) и (x1,f(x1)).
Уравнение такой прямой имеет вид:
отсюда для
Это и есть формула линейной интерполяции, при этом
где R1(x) — погрешность формулы:

Интерполяционные формулы Ньютона — формулы вычислительной математики, применяющиеся для полиномиального интерполирования.
Если узлы интерполяции равноотстоящие и упорядочены по величине, так что xi + 1 − xi = h = const, то есть xi = x0 + ih, то интерполяционный многочлен можно записать в форме Ньютона.
Интерполяционные полиномы в форме Ньютона удобно использовать, если точка интерполирования находится вблизи начала (прямая формула Ньютона) или конца таблицы (обратная формула Ньютона).

Короткая форма интерполяционной формулы Ньютона
В случае равноудаленных центров интерполяции, находящихся на единичном расстоянии друг от друга, справедлива формула:
где - обобщенные на область действительных чисел биномиальные коэффициенты.
Прямая интерполяционная формула Ньютона
где , а выражения вида Δy — конечные разности.
Обратная интерполяционная формула Ньютона
где

Интерполяционный многочлен Лагранжа — многочлен минимальной степени, принимающий данные значения в данном наборе точек. Для n + 1 пар чисел , где все xi различны, существует единственный многочлен L(x) степени не более n, для которого L(xi) = yi.
В простейшем случае (n = 1) — это линейный многочлен, график которого — прямая, проходящая через две заданные точки.

Пусть некоторая функция f(x) задана на отрезке [a,b], разбитом на части [xi − 1,xi], a = x0 < x1 < ...< xN = b.
Кубическим сплайном называется функция S(x), которая:
на каждом отрезке [xi − 1,xi] является полиномом третьей степени;
имеет непрерывные первую и вторую производные на всём отрезке [a,b];
в точках xi выполняется равенство S(xi) = f(xi);
S''(a) = S''(b) = 0.

Обозначим: hi = xi − xi − 1
На каждом отрезке [xi,xi + 1] функция S(x) есть полином третьей степени Si(x), коэффициенты которого надо определить. Запишем для удобства Si(x) в виде:

Условия непрерывности всех производных до второго порядка включительно записываются в виде а условия интерполяции в виде
Отсюда получаем формулы для вычисления коэффициентов сплайна

Другим важным видом интерполяции является интерполяция функции f тригонометрическим полиномом:
Этот вид интерполяции особенно осмысленен для периодических функций. Пусть есть функция f(x) с периодом L, т.е. для любого x:
f(x + L) = f(x)
Пусть эта функция задана таблицей на периодической сетке:
своими значениями
fm = f(xm)
Оказывается, при правильном выборе N,K,x0, существует только один полином .

В основу этой схемы положена интерполяция Лагранжа на сетке узлов x0, x1, …, xn. Каждый шаг заключается в вычислении некоторого определителя второго порядка.
Где i=1,2,3…n и по опредедлению P0(x)=y0, P1(x)=y1 и Pi – полином Лагранжа соответствующей степени.

Download 0.67 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham: