Iqtisodiyot fakulteti moliya yonalishi 22. 140-guruh talabasi Abdurayimov Izzatulla Amaliy matematika fanidan slayd

Iqtisodiyot fakulteti moliya yonalishi 22.140-guruh talabasi Abdurayimov Izzatulla

Amaliy matematika fanidan slayd

Determinantlar va ularni hisoblash.
Reja:
1.II-tartibli determinantlar.
2.III-tartibli determinantlar.
3.Yuqori tartibli determinantlar.
4.Minor va algebraik to’ldiruvchi.
5.Determinantlarning xossalari.
6.Matritsalar.
Yuqori tartibli determinantlarning ta’riflari.
Permutasiyalar. Determinantlar bizga elementar algebradan ma’lum bulgan permutasiyalar (o’rin almashtirishlar) bilan bogliqdir. Istalgan n ta butun musbat sonni, qulaylik uchun, masalan, 1 dan n gacha bo’lgan 1, 2, 3,…, n sonlarni olamiz. Bu raqamlardan (sonlardan) hammasi bo’lib, n!= 1,2,3, . . . , n ta har xil permutasiya (o’rin almashtirish) tuzish mumkin Masalan, 1, 2, 3 raqamlardan, hammasi bo’lib, 31=1 2 3= 6ta har xil permutasiya tuziladi: 123, 132, 213,312,321.
Inversiyalar. Misol uchun 1,2,3,4,5,6 raqamlarni olaylik. Bu raqamlardan tuzilgan 123456 ko’rinishdagi permutasiya undagi hamma raqamlarning natural qatordagi tartibda joylashishi bilan xarakatlanadi: har bir kichik raqam o’zidan katta raqamning chap tomonida, har bir katta raqam esa o’zidan kichik raqamning o’ng tomonida turadi. Bunday permutasiyani biz tartibli (normal) permutasiya va unda inversiyalar (tartibsizliklar) yo’q deymiz. 463152 da inversiyalar (tartibsizliklar) bor, chunki bunda 4 dan kichik 3,1,2 raqamlar 4 ning ung tomonida, shuningdek, 6 dan kichik 3,1,5,2 raqamlar ham 6 ning o’ng tomonida, so’ngra 1 va 2 raqamlar 3 ning o’ng tomonida va nihoyat, 2 raqami 5 ning o’ng tomonida turadi.
Bularning xammasi inversiyalar(tartibsizliklar)dir
Permutasiyada nechta inversiya borligi quyidagicha aniqlanadi:
Permutasiyaning har qaysi m raqami o’ng tomonidagi uzidan kichik har bir raqam bilan bitta inversiya tashkil etadi; bu m raqamning tashkil etgan hamma inversiyalari o’ng tomonidagi o’zidan kichik raqamlarning soniga teng. Permutasiyadagi inversiyalarning umumiy soni esa hamma raqamlarga tegishli inversiyalarning soniga teng.
Masalan: 463152 dan iborat permutasiyadagi inversiyalarni sanaylik 4 dan kichik uchta (3, 1 va 2) raqam bor, demak, 4 raqamiga uchta inversiya tegishli. 6 dan kichik turtta (3,1,5,2) raqam bor, 6 raqamiga turtta inversiya tegishli. 3 raqamiga ikkita inversiya tegishli, 1 raqamiga tegishli inversiya yo’q. 5 raqamiga bitta inversiya tegishli. Shunday qilib, bizning permutasiyada hammasi bo’lib 3+4+2+1 = 10 ta inversiya bor ekan. 123456 da inversiyalar soni nolga teng, biz bu permutasiyada nolga inversiya bor deb ataymiz.
Ta’rif. Permutasiyada inversiyalar soni juft bo’lsa, juft permutasiya, inversiyalar soni toq bo’lsa, toq permutasiya deyiladi.
Normal permutasiya, odatda, juft deb qaraladi, chunki unda nolta inversiya bor, nol esa juft sondir.
Misol. 156234- juft permutasiya (6 ta inversiya bor) 613542 toq permutasiya (9 ta inversiya bor).
Ta’rif. Permutasiyadagi istalgan ikki raqamni o’zaro almashtirish transpozisiya deyiladi.
Masalan: 356412 permutasiyada 5 va 1 ni o’zaro almashtirsak, bitta transpozisiya bajargan bo’lamiz, buning natijasida 316452 permutasiya vujudga keladi.
1-teorema. Bitta transpozisiya natijasida permutasiyaning juft-toqligi o’zgaradi.
2-teorima. N ta raqamdan tuzilgan n! Ta permutasiyalarning tasi juft va xuddi shuncha toq bo’ladi
Ta’rif-1. Agar a11,a12,a21,a22 sonlar berilgan bo’lsa, shu sonlar orqali aniqlangan a11a12 – a21a22 songa II-tartibli determinantlar deyiladu va quyidagicha belglangan. a11,a12,a21,a22 larga determinantlar elemetli, a11,a12 –determinantning brinchi, a21,a22 larga ikkinchi yo’l elementlari deyiladi. A11, a22 determinantning bosh, a21,a22 larga esa determinantning yordamchi diagonal elementlari deyiladi. 2.2. III-tartibli determinantlar.
Ta’rif-2: Berilgan a11,a12, a13,a21,a22,a23,a31,a32,a33 sonlar orqali aniqlangan va quyidagicha bebelgilanga songa 3-tartibli determinantlar deyiladi
III-tartibli determinant uchta yo’l va uchta ustun elementlaridan iborat bo’lib, () hammasi bo’lib 9 ta elementdan tashkil topadi.
Quyidagi birinchi i indeks yo’lning tartibini, ikkinchi indeks j esa ustunning tartibini bildiradi.
Harbir determinant biror aniq sonni ifodalaydi, va uni quyidagi usullar bilan aniqlash mumkin.
N tartibli determinant n ta satr, n ta ustun va n2 ta elementga ega, bunda elementlar birinchi ( bosh) diagnolni , elementlar ikkinchi (yordamchi) diagonalni tashkil etadi.
Ta’rif. –tartibli D determinant quyidagicha tuzilgan n-ta hadning algebraik yig’indisiga teng:
Yig’indining har bir hadi determinantdagi n ta elementning ko’paytmasidan iborat. Agar hadlarning hammasida elementlarning birinchi nraqamlari tartib bilan (ya’ni 1,2,3,…,n) yozilsa, ikkinchi raqamlari 1,2,3,…,n raqamlardan tuziladigan n! Ta permutasiyani tashkil etadi.
Elementlarning ikkinchi raqamlari juft permutasiyalarni tashkil etgan hadlar o’z ishorasi bilan toq permutasiyalarni tashkil etgan hadlar esa teskari ishora bilan olinadi.
Bu ta’rifdan determinantni ifodalovchi yigindining har bir hadini
(1)
shaklda yozish mumkinligi ko’rinadi, bunda ikkinchi nomerlar 1,2,3,4,…,n raqamlardan tuzilgan qandaydir permutasiyani r esa shu permutasiyadagi inversiyalarning sonini bildiradi. Demak, r juft bo’lsa, (1) ko’paytma o’z ishorasi bilan r toq bo’lsa, (1) ko’paytma teskari ishora bilan olinadi.
Determinantlarning asosiy xossalari.
1-teorema. N – tartibli D determinantning har bir satri va har bir ustunidan bittadan olingan n ta elementdan tuzilgan
ko’paytma shu D determinantning hadidan iborat: bunda m ko’rsatgich birinchi raqam tuzilgan.
.
Permutasiyadagi inversiyalar sonini, S ko’rsatgich esa ikkinchi raqam tuzilgan:
.
Permutasiyadagi inversiyalar sonini ifodalaydi.
2-teorema. N- tartibli D deperminant yana ushbu
yig’indiga teng; bunda hamma hadlardagi elementlarning ikkinchi raqam tartib bilan yozilgan bo’lib, birinchi raqam 1,2,…,n raqamlardan tuzilgan barcha permasiyalarni ifodalaydi. S esa bu premutasiyalardagi inversiyalar sonini bildiradi.
Masalan, 5- tartibli determinantning – dan iborat hadini olaylik. Ikkinchi nomerlar toq 45132 permutasiyani tashkil etgani uchun, had teskari ishora bilan olingan. Ko’paytuvchilarni o’zaro almashtirib, bu hadni
shaklda yozsak, endi birinchi nomerlar ham toq 35412 permutasiyani ifodalaydigan bo’ladi.
1-xossa. Determinantda hamma satrlar mos ustunlar qilib yozilsa, determinantning qiymati o’zgarmaydi.
Determinantning elementlaridan tuzilgan. Demak, usha teoremaga binoan, (1) va (2) yig’indilar bir-biriga teng, ya’ni D1= D. Shu bilan birga, D1 determinantning D dagi hamma satrlarni mos ustunlar qilib yozish natijasida vujudga kelganini ko’ramiz.
Determinantning hamma satrlarini mos ustunlari bilan almashtirish bu determinantni transpoziyalash deb ataladi.
2- xossa. Determinantda istalgan ikki ustunni (yoki ikki satrni) o’zaro almashtirsak, determinantning faqat ishorasigina o’zgaradi.
Natija. Determinantda biror ustun (satr)ning hamma elementlari boshqa ustun (satr)ning mos elementlariga teng bo’lsa, bunday determinantning qiymati nolga teng bo’ladi.
3-xossa. Determinantda biror ustun (satr) ning hamma elementlari m umumiy ko’paytuvchiga ega bo’lsa, m ni ko’paytuvchi qilib, determinant belgisini tashqarisiga chiqarish mumkin.
Isboti. Xossani ustunlar uchungina isbotlaymiz. Masalan, k ustunning elementlari
ko’rinishga ega bo’lsin. Bu holda, determinantning har bir hadiga k- ustundan albatta bitta element kirgani uchun, determinant quyidagi yig’indi bilan ifodalanadi.
Bunda yig’indining hadlarida ikkinchi raqam tartib bilan joylashadigan qilib, birinchi nomerlar esa 1,2,…n raqamlardan n! Ta permutasiyalarni tashkil etadigan qilib yozildi.
Yig’indining hamma hadlaridagi m umumiy ko’paytuvchining dan tashqari chiqarsak
1–natija. Agar determinantda ustun va satrlarning elementlari umumiy ko’paytiruvchilarga ega bo’lsa, ularning hammasini determinant belgisidan tashqariga chiqarish mumkin.
2–natija. Determinantni m ga ko’paytirish uning biror ustuni (satri)dagi hamma elementlarni shu m ga ko’paytirish bilan baravardir.
3–natija. Determinantda biror ustun (satr) elementlari boshqa ustun (satr)ning mos elementlariga proporsional bo’lsa, bunday determinant nolga teng bo’ladi.
4–natija. Agar determinantning biror satrlaridan biri nollardan iborat bo’lma bunday determinant nolga teng bo’ladi.
4-xossa. Agar n- tartibli D determinantda k ta ustun elementlari m ta qo’shiluvchining yig’indilaridan iborat
D determinant m ta n- tartibli D1,D2…,Dm determinantlar yig’insiga yoyiladi, bu determinantlarning k- ustunlari, mos ravishda, D dagi k- ustunning elementlarini ifodalovchi yig’indilarning 1-,2-,..m- qo’shiluvchilaridan tuziladi, qolgan ustunlari esa D ning ustunlaridek bo’ladi.
1–natija. Determinantda biror ustunning elementlari k ta qo’shiluvchining yig’indilaridan boshqa bir ustunning elementlari esa ye ta qo’shiluvchining yig’indilaridan iborat bo’lsa, determinant k+ye ta determinant yig’indisiga yoyiladi.
2–natija. Determinantda biror ustun (satr) ning hamma elemntlarini bitta m songa ko’paytirib, bu ko’paytmalarni boshqa ustun (satr) ning mos elementlariga qo’shsak determinantning qiymati o’zgarmaydi.
Teorema. Determinantda i- satr ( yoki j- ustun) ning dan boshqa, hamma elementlari nolga teng bo’lsa, bu determinant o’sha element bilan unga mos algebraik to’ldiruvchining ko’paytmasiga teng bo’ladi, ya’ni
Isboti. Masalan, D determinantda i – satrning, dan boshqa, hamma elementlari nolga teng deylik, u vaqtda D ni i- satr elementlari bo’yicha yoysak, yoyilmadi, dan boshqa, hamma ko’paytmalar nolga teng bo’lib, kelib chiqadi. Shunga o’xshash, j –ustunning dan boshqa, hamma elementlari nolga teng bo’lsa ham, D ni usha ustun elementlari bo’yicha yoyib, ni hosil qilamiz.
Teskari matritsa tushunchasi faqat kvadrat matritsalarga nisbatan kiritiladi.
Ta’rif: Agar har qanday A va B kvadrat matritsalar uchun A·B=B·A=E tenglik o’rinli bo’lsa, u holda B matritsani A matritsaga (va aksincha) teskari matritsa deyiladi.
Odatda A matritsaga teskari matritsa A-1 ko’rinishda yoziladi va AA-1=A-1A=E bo’ladi (E birlik matritsa).
Ta’rif: Agar A kvadrat matritsaning determinanti |A|≠0 bo’lsa, A matritsaga maksimus matritsa deyiladi. Agar |A|=0 bo’lsa, A matritsaga maksis matritsa deyiladi.
Teorema: Har qanday A kvadrat matritsa teskari A-1 matritsaga ega bo’lishi zarur va yetarlidir.
Teskari matritsani topish uchun, A matritsaning determinanti topiladi. Agar determinant |A|≠0 bo’lsa, ya’ni maksimus matritsa bo’lsa, A matritsaning teskarisini hisoblash mumkin. A*ni shunday tuzamizki, uning barcha elementlari A matritsaning har bir elementlarining algebraik to’ldiruvchi- laridan tuzilgan va ularni har birirni determinantga bo’lib chiqilsin. A* ni mtranspornirlasak, A mat-ritsaga teskari bo’lgan A-1 matritsa hosil bo’ladi.