Irratsional qatnashgan funksiyalarni integrallash

IRRATSIONAL QATNASHGAN FUNKSIYALARNI INTEGRALLASH.
Irratsional funksiyadan olingan integral hamma vaqt ham elementar funksiyalar orqali ifodalanavermaydi. Irratsional funksiyalarni integrallashda o’zgaruvchilarni almashtirish yordamida ularni ratsional funksiyalarni integrallashga keltiramiz.

 ko'rinishdagi integralni qaraymiz. Aytaylik, soni  kasrlarning umumiy mahraji bo’lsin.  almashtirish qilamiz. U holda, har bir kasr ko’rsatkichli daraja butun ko’rsatkichli darajaga almashadi va natijada, integral ostidagi funksiya ning ratsional funksiyasidan iborat bo’ladi. Endi  ko’rinishdagi integralni qaraymiz. Bu integral


almashtirish bilan ratsional funksiyani integrallashga keltiriladi. Bu yerda soni
soni  kasrlarning umumiy mahraji.
Ba’zi hollarda   ko’rinishdagi aniqmas integrallar ham uchraydi. Bunday integrallar Eyler almashtirishlari deb ataluvchi quyidagi almashtirishlar yordamida ratsional funksiyani integrallashga keltiriladi.

1. Eylerning birinchi almashtirishi. Agar  bo’lsa,

   
   

 almashtirish qilamiz. U holda bo’ladi. Bundan x ni t ning ratsional funksiyasi sifatida aniqlaymiz.


Bu yerda  ham ning ratsional funksiyasidan iborat bo’ladi. Shunday qilib  bo’lib u t ni ratsional funksiyasi bo’ladi.

Eylerning ikkinchi almashtirishi. Agar  bo’lsa,  almashtirish qilamiz. Oxirgi tenglikni har ikkala tomonini kvadratga ko’tarsak  tenglik hosil bo’ladi. Bu ifodadan oldida plyus ishorani olib х ni topamiz,

dx va  larni t orqali ifodalab berilgan integralga , x dx va  ning t orqali qiymatlarini qo’ysak integral ratsionallashadi.

3. va  kvadrat uchhadning haqiqiy ildizlari bo’lganda

   
   

almashtirishni olamiz. U holda   bo’lgani uchun


 tenglik hosil bo’ladi. Bu tenglikni kvadratga ko’tarib x o’zgaruvchini topamiz va bundan  kelib chiqadi. dx va  larni t orqali ifodalab berilgan integralga , x dx va  ning t orqali qiymatlarini qo’ysak integral ratsionallashadi.