Irratsional tenglama va tengsizliklarni yechish usullari. Muhammad al-Xorazmiyning «Al-jabr va al-muqobala asari haqida»

Irratsional tenglama va tengsizliklarni yechish usullari. Muhammad al-Xorazmiyning «Al-jabr va al-muqobala asari haqida »
Reja :

1. 
   Irratsional tenglamalarni yechish usullari
   
2. 
   Irratsional tengsizliklarni yechish usullari
   
3. 
   Muhammad al-Xorazmiy – algebra fanining asoschisi
   

Noma’lum qatnashgan ifoda ildiz belgisi ostida qatnashgan tenglamalar irratsional tenglamalat deyiladi . _{ } Ularni yechishda teng kuchli almashtirishlardan foydalaniladi.
Teorema. Agar n soni musbat va toq bo’lsa, u holda A(x)=B(x) va Aⁿ(x)=Bⁿ(x) tenglamalar teng kuchli bo’ladi. Agar n soni musbat va juft bo’lsa, Aⁿ(x)=Bⁿ(x) va tenglamaning ildizi A(x)=B(x) va A(x)=-B(x) tenglamalardan kelib bo’lmaganda bittasi qanoatlantiradi.
A(x), B(x) ifodalar ratsional ifoda va _{ } bo’lganda quyidagi munosabat o’rinli bo’ladi :
_{ }
1-misol. _{ } tenglamani yechish.
Yechilishi. Tenglama ushbu sistemaga teng kuchli :
_{ }
x²+3x+1=(x-2)² tenglama yagona _{ } ildizga ega. Lekin u x-2≥0 tengsizligi-ni qanoatlantirmaydi. Tenglama yechimga ega emas.
2-misol. _{ } tenglamani yeching.
Yechish. Tenglama ushbu sistemaga teng kuchli :
-3x²+3x-2=-2x-10, -2x-10≥0.
-3x²+3x-2=-2x-10 tenglamaning ildizlari -1 va _{ }. Lekin bu qiymatlarda
-2x-10 ≥0 tengsizligi bajarilmaydi. Demak, berilgan tenglama ildizga ega emas.
Irratsional tenglamalar xususuiy hollarda quyidagi ko’rinishlarda bo’lishi mumkin.

1. 
   Bitta kvadrat ildiz qatnashganirratsional tenglama
   

Misol : _{ } tenglamani yeching.
Tenglamaning aniqlanish sohasi (q.q.q.s).
_{ } ; _{ }

2. 
   Ikkita kvadrat ildiz qatnashgan tenglama.
   

Misol: _{ } tenglamani yeching.
_{ } ; _{ 
 }

3. 
   Ba’zi tenglamalarni sun’iy usullar bilan ham yechish mumkin
   

Misol: _{ } tenglamani yeching.
Tenglamaning aniqlanish sohasini, ya’ni D(T) ni topamiz: q.q.q s _{   }yoki _{ 
 } almashtirish bajarilsa, u holda _{ } bo’lib, _{ }tenglama hosil bo’ladi, buni yechilsa, _{ } ekanligi kelib chiqadi.
Irratsional tengsizliklar. A va b sonlari nomanfiy bo’lgandagina an n kelib chiqadi. Shunga ko’ra A(x) , B(x) irratsional ifoda tengsizliklarni yechishda ularning ishoralari e’tiborga olinishi kerak. Umuman,
_{ } (1) bo’ladi. Sistemadagi birinchi tengsizlik ildiz ostidagi ifadaning nomanfiyligini, ikkinchisi B(x) ning musbatligini ifodalaydi, uchinchisi a≥0, b≥0 da a2 k2k tengsizliklar bir vaqtda bajarilishidan kelib chiqadi._{ } tengsizligi B(x) ≥0, A(x)>B^2k(x) bo’lganda yoki A(x) ≥0 , B(x)<0 bo’lganda o’rinbli. Shunga ko’ra _{ } tengsizlikni yechish uchun
_{ } va _{ } (3) tengsizliklar sistemalarini yechish va ularning yechimlarini birlashtirish kerak.
1-misol . _{ } tengsizlikni yeching.
Yechish. Berilgan tengsizlikdan ushbu tengsizliklar sistemalari hosil bo’ladi :
_{ }
Birinchi sistemaning yechimi _{ }.
Javob : _{  }.
Agar irratsional tengsizlik _{ } (4)
Ko’rinishda berilgan bo’lsa, A(x) ≥0, B(x) ≥0 va _{ } shartlar bajarilganda berilgan tengsizlik A(x)<(C(x)-_{ } tengsizlikka teng kuchli bo’lib, yuqorida qaralgan turlaridan biriga keladi.
Misol : _{ } tengsizlikni yeching.
q.q.q.s _{ }.
Chet ildiz hosil bo’lganligi uchun bunday hulosa yuritamiz :

1. 
   x<1 da chap tomon manfiy; o’ng tomon manfiy emas.
   

Demak, _{ }

2. 
   x ≥1 da chap va o’ng tomonlar musbat.
   

4x²-8x+4<4x²+23x+15;
_{ } . Bu holda yechim yo’q.
Muhammad al- Xorazmiy – algebra fanining asoschisi. Ulug’ allomamizdan biri, algebra fanining asoschisi Abu Abdulloh Muhammad ibn Muso a l-Xorazmiy (Xoramiy 780- Bag’dod 847) o’zining «Al-jabr va al-muqobala » kitobida ax²+bx+c=0, ax²+c=bx, bx+ c=ax², ax²=bx, bx=c ko’rinishdagi tenglamalarning nomanfiy ildizlarini topishning algebraik usulini ko’rsatgan, uni geometrik tahlil etgan. Masalan, bizdan 6x²-22x-4=4x²-2x-46 tenglamani yechish talab etilgan bo’lsin. Dastlab, tenglamani sodda ko’rinishga keltiramiz. Buning uchun :
1) tenglikning bir tomonidan, biror sonni tenglikning ikkinchi tomoniga o’tkazamiz (Al-jabr arabcha so’z bo ‘lib, o’tkazish, majbur qilish ma’nosini beradi). Son (ifoda) ayrilayotgan bo’lsa, uni tenglikning ikkala tomoniga qo’shamiz. Natijada manfiy ishorali hadlar a lmashadi :
6x²-22x-4=4x²-2x-46 ; (+22x,+4, +46) ;
6x²+2x+46=4x²+22x+4.
Hozirgi vaqtda bu amal manfiy ishorali hadni tenglikning ikkinchi tomoniga musbat had qilib o’tkazish deyiladi ;
2) Al-hatt (qo’yish, ortiqchasini olib tashlash). Bizning misolda tenglikning ikki tomonini 2 ga qisqartiramiz :
3x²+x+23=2x²+11x+2 ;
3) al – muqobala (muqobil qo’shish, tenglikning bir tomonining ortishi ikkinchi tomonining o’shancha kamayishiiga teng kuchli). Shunga ko’ra tenglikning ikkala tomonidan 2x² ni, x ni , 2 ni ayiramiz. Natijada
x²+21=10x
tenglama hosil bo’ladi. Al-jabr val-muqobqladan foydalanib, quyidagi tenglamalarni yechish :
a) x²+8=16 ; b) x²-5=7 ; d) 4x²=5 ; e) 8x²-6=3.