Ҳисобкунии интеграли каҷхати навъи дуюм

Режа:

1. Ҳисобкунии интеграли каҷхати навъи дуюм

2. Формулаи Грин
3. Шартҳои мустақилияти интеграли каҷхаттаи типи дуюм аз роҳи интегратсия
4. Баъзе татбиқҳои интеграли каҷхаттаи типи 2

Ҳисобкунии интеграли каҷхати навъи дуюм

Интегралҳои каҷии навъи дуюм ба интегралҳои муайян оварда мешаванд.
Барои ҳисоб кардани интеграли қубурии навъи дуюм яке аз формулаҳои зерин истифода мешавад:
а) агар AB бо муодилаи дода шуда бошад ва њангоми аз нуќтаи А ба нуќтаи Вгузаштан х аз а ба b таѓйир меёбад, он гоҳ
. (15.10)
б)агар AB бо муодилаҳои параметрии x=x(t) y=y(t) дода шуда бошад ва ҳангоми аз нуқтаи А ба нуқтаи В гузаштан параметри t аз ба тағйир меёбад, пас
. (15.11)
Ба ҳамин монанд, интеграли каҷии функсияҳои муттасил дар минтақаи муайяни фазоии функсияҳои ва қад-қади координатҳо қад-қади камони каҷи фазоии порча-ҳамвор L ки дар ин минтақа ҷойгир аст, муайян карда мешавад:
.
Агар хати каҷи L бо муодилаҳои параметрӣ , , дода шавад, ки

.
Таъриф: Интегралҳои каҷхаттаи типи якум ва дуюм бо муносибати зерин алоқаманданд:
,
ки дар ин чо ва кунчхое мебошанд, ки тангенси хати каҷи AB дар нуқтаи M(x,y) бо меҳварҳои О(х) ва Оу мутаносибан ба амал меояд.


Мисол: 15.5. -ро ҳисоб кунед, ки дар он L камони параболаи y=x² аст, ки аз нуқтаи A(-1,1) то нуқтаи B(1,1) мегузарад.( расми 1)
Расми 1

Азбаски ҳангоми гузаштан аз нуқтаи А ба нуқтаи B x аз -1 ба 1 тағйир меёбад, пас аз рӯи формулаи (6.1) мо

Формулаи Грин
Байни интеграли дукарата болои минтақаи D ва интеграли каҷи бар сарҳади L -и ин минтақа алоқа вуҷуд дорад, ки бо формулаи Грин муайян карда мешавад.
Бигзор L контури қисман ҳамвор дар ҳамвории OXY бошад ва D -минтақаи пӯшидае бошад, ки бо ин контур маҳдуд шудааст.
Теорема. Агар функсияҳои ва дар соҳаи D муттасил бошанд ва дар ин соҳа ҳосилаҳои қисман пайваста дошта бошанд, формулаи
. (15.12)
Формула (15.12) формулаи Грин номида мешавад.
Мисол 15.6. Бо формулаи Грин интеграли каҷиро ҳисоб кунед
,
к
и дар он L контури секунчае, ки куллахо дар нуктахои , ва мебошад (расми 2).
расми 2
Ҳалли.
Мо формулаи Гринро (7.1) истифода мебарем. Дар ин маврид , чунки
, .
Баъд мо ҳосил мекунем





Шартҳои мустақилияти интеграли каҷхаттаи типи дуюм аз роҳи интегратсия
Минтақаи ҳамвори D содда пайваст номида мешавад, агар барои ҳар як контури пӯшидаи L дар ин минтақа ҷойгиршуда қисми ҳамвории бо он маҳдудшуда комилан ба минтақаи D тааллуқ дошта бошад.
Теорема. Барои он ки интеграли каҷхаттаи аз роҳи интегралӣ дар домени оддии пайвастшудаи D, ки дар он функсияҳои P(x,y) ва Q(x,y) якҷоя бо ҳосилаҳои қисман муттасил мебошанд, мустақил бошад. зарур ва кифоя аст, ки дар хар як нуктаи ин минтака шароит
. (15.13)
Агар шарти (15.13) конеъ бошад ва L даври баста бошад, пас
. (15.14)
Агар шарти (15.13) иҷро шавад, он гоҳ ифодаи дифференсиали куллии баъзе функсияҳои дар домени D муайяншуда мебошад, яъне.

Мисол 15.7. Ҳисоб кардани интегралӣ
ки дар он давра L

Ҳал:
Дар инҷо ҳосил мекунем

Азбаски шарти (15.13) конеъ гардида, контури L баста аст, пас аз руи формулаи (15.14) ин интеграл ба сифр баробар аст.
Баъзе татбиқҳои интеграли каҷхаттаи типи 2

1) Майдони ҳамвор

Майдони S минтақаи ҳамвори D, ки дар ҳамвории OXY ҷойгир аст ва бо хати пӯшидаи L маҳдуд шудааст, аз рӯи формула пайдо мешавад.
, (15.15)
ки дар он самти гузариши контури L интихоб карда мешавад, то ки минтакаи D хамеша дар тарафи чапи рохи интегратсия бошад.
2) қувваи корӣ
Кори қувваи тағйирёбандаи қад-қади хати каҷи L бо формулаи зерин пайдо карда мешавад:
. (15.16)
Мисол 15.8. Кори кувваи -ро хангоми аз нуктаи О(0,0) ба нуктаи М(1,1) кучонидани нуктаи моддиро дар хати рости y=x хисоб кунед.
Ҳал:
Аз формулаи (15.16) чунин бармеояд