Из формулы

Глава. 10. Коэффициентные обратные задачи
Vm+l(z,y,t) = J (Avm+Pm«m+1 + r) ОТ,
^ ; (10.4.22)
2 Г*
Prn+l У) = ~ TT / (Дт;™ + Pm^w+l + tfmWm)(C» 2/, 2.T - С) d(
ш) Уо
для m — 0,1,2, Докажем, что при подходящем выборе ао выполнены
неравенства
,am(so - s) - х]
Am := max { sup [||vm||s(#> 0"
L (x,tlS)eFm l
sup \\\PrnU^t){am{S0 S) X)2}\\\um+i -uo\\3Q(x,t) ^ До, ll^m+i -golUoW ^ —— (Ю.4.24)
so - s
для (x,t9s) e Fm+i. Здесь
Fm := {(M,*) : (x',t) g G, 0 < x < am(s0 - «), 0 < s < s0}, „Л , ЛКЧ
(10.4.25)
(7 := {(x,t) :0<^^tИз соотношений (10.4.21) следует, что
1Ы1-0М) < \ J / (||AtiolU(C,r) + МШЫЬ&т)) drd(
0 t-x+C
если (jc,£,s) g Fo и s(£) = (so + 5 - (/clq)/2. Здесь используется тот
факт, что uo(tf,2/,<) е C(AS0,GS), а также неравенство (10.4.2) для
функции Аио, рассматриваемой как элемент пространства As, и оценки
ИяоЩя) < Л0, ||u0|UOM) < R0 для s е (0,s0) и (x,t) е G.
Заметим, что если (#,£, s) 6 Fb, то (C>t,s) g Fo; следовательно, £ <
«о(«о ~~ *(С) - в = (so -s- C/ao)/2.
Тогда
'»<*<*•<> 4/ / (((^У-0'+д8)^
0 f.-z+C
Jo ((so-5)ao~C) (5о-з)ао-ж
10.4. Локальная разрешимость многомерных обратных задач
319
Аналогично,
^ \[(so - s)ao - х}2 °/ ^ [(50 - s)a0 - х}2
Следовательно, если обозначить //о = ao(16n + RqSq) шах (ао, 2До),
то
А0 < До/хо < 00•
Кроме того, для (ж,£,з) Е Fi имеют место неравенства
IN - = Ы|.,(М) < , A0X\ < A°ttl
ао(«о - 5) - ж ^ ао - ai
Ао
ao/ai - 1
= Aq < моДо,
п II ( \ п II / \ ^ Аоаож Aoaoai
11<П -90 5W = \\Р0\s(x) < j—( -r ^ ^ 7; уП~о r
(a0(50 - s) - х)г (00 - ai)z{sq - 5)
Aoao/ai < 2Ap < 2/^оДо
(a0/ai - 1)2(50 - s) ^ 50 ~ s ^ 50 - 5 '
Выберем ао так, чтобы выполнялось неравенство 2ро ^ 1. Тогда
соотношения (10.4.24) справедливы для т — 0. Используем теперь метод
математической индукции. Предположим, что соотношения (10.4.23),
(10.4.24) выполняются для т < к, если число ао выбрано подходящим
образом. Тогда для (ж, £, 5) Е -Ffc+i выполняются соотношения
х t+x-C
\\vMMx,t) < - J j ( ш_[з)2
о
в
+ Ы1в(ОК+1||в(С,т) + ||9fc||e(C)ll«fcl|e(C,r) drdC
< Г(г С)( 4"ХкС
2Д§А&(цС AfcC До(1+д0)ч
+ [a,+1(S0-*(C))-C]2 «*+i(*o-*«))-С «о-* ' ^'
которых зависимость s(Q выбрана в виде 5(C) = (so+5—£/a&_j_i)/2 > s.
320