Из формулы

Из формулы (10.4.8) следует представление (10.4.6) для
функции F(y)t)) а из (10.4.9) вытекает равенство
/(у,+0)=0, (10.4.10)
которое является необходимым условием разрешимости обратной
задачи. В силу того что при х > t имеет место равенство u(x,y,t) = u(x,y,t),
мы далее будем опускать знак черты над функцией и> когда она
рассматривается для значений х > t.
Обозначим
У^) = - [f{x + t,y) + f(x - *,y)],
г (10.4.11)
qo{X} у) = Ш^~ Ag{y) + ШУ) t)][t=2x^'
Теорема 10.4.1. Пусть выполнено условие (10.4.10), функции
д(у), \/д(у) принадлежат ASQ при некотором so > 0, а функции
f (у, t), ft (у, t) принадлежат пространству С (ASQ, [0, Т]) при некотором
Т > 0. Обозначим
R0 :=max [Ц(^Ы)"1 ||5о> max.\\qofay)\\3o{x), max \\f{y,t)\\So{t)].
O^sc^i /2 u^t^i
(10.4.12)
Тогда можно найти такое число а = а($о,^, #о) G (0,Т/(2$о))> что для
любого s G (0, 5о) существует единственное решение qT(x,y), uT(x,y>t)
обратной задачи (10.4.3)-(10.4.5) в пространстве C(ASo,Gs), где Gs =
{(ж, t) € R2 : 0 < х < a(so — s), х < £ ^ Т — х}. Кроме того, справедливы
оценки
K-uolUM) ^ До, lkr-50~5
Доказательство. Используя (10.4.9), заменим задачу (10.4.3)-
(10.4.5) следующей:
Щь ~ uxx - Au - qu = 0, у G Ry\ t > х > 0, (10.4.14)
u\x=Q = f(y,t),
где f{y,i) связано с данными задачи (10.4.3)-(10.4.5)
равенством (10.4.6).
Поскольку данные Коши и и их определены на плоскости х = 0,
можно использовать формулу Даламбера. В результате мы получим для
и(х, у, t) интегро-дифференциальное уравнение
u(x,y,t) = uo(x,y,t) - ^ J {Au + qu){(,y,T)d£dT, (10.4.15)
A{xJ.)
10.4. Локальная разрешимость многомерных обратных задач
317
в котором
Д(ж,t) = {(С,r)Gl2:0<(— характеристический треугольник в плоскости £, т с вершиной в
точке (я,£) и основанием на оси т. Дифференцируем (10.4.15) по t и по х и
сложим полученные равенства, полагая t = х и учитывая (10.4.9):
Отсюда следует, что, ввиду (10.4.11), функция q(x,y) удовлетворяет
интегро-дифференциальному уравнению
Я(*> У) = У^~^)/0 (Аи + qu^> У>2* ~ О dC. (10.4.16)
Полученную систем}' двух уравнений (10.4.15), (10.4.16)
относительно q(x,y), u(x,y,i) можно решить модифицированным методом Нирен-
берга [14]. Пусть последовательность а-о, аь .... ат,... определена
соотношениями
вт+1 = ат(1 + т—^ТчЗ")"1' ™ = 0,1,2,..., (10.4.17)
и число а — формулой
а = lim ат = а0 П (l + 2) . (10.4.18)
т—>оо ХА V (rn+l)z/
п—0 v '
Положительное число ао < T/(2sq) будет выбрано позже. Построим
последовательные приближения по формулам
Um+l(z,j/,*) = uo(ff,3/,t) ~ ^ У (Awm + qmy>m)((,y,T)d(dT,
A{x,t)
2_
9 (У)
(10.4.19)
для m = 0,1,2, Тогда функции
Vm = Wm+l - wm, Pm = <7m+l ~ 9m, m = 0, 1, 2, . . . . (10.4.20)
удовлетворяют соотношениям
щ(х,у,г) = - ^ У (Awo + gowo)(C,y>7-)dCdT>
(10.4.21)
2 P
Po(*>2/) =—7-t / {Au0 + qoUo){(,y)2x-()d(,
9\У) Jo
Qm+l (я, У) = Q0(ж, у) - -f^ / (Au™ + tfmUm)(C, 2Л 2X - C)^C
318