Jahon iqtisodiyoti va diplomatiya universiteti
Download 345.12 Kb. Pdf ko'rish
|
funksiyalar va ularning limiti
- Bu sahifa navigatsiya:
- 5. Funksiyaning nuqtadagi limiti.
- 6. Bir tomonli limitlar.
- 7. Limitlar haqida asosiy teoremalar.
- Misollar.
- Misol.
|
3. 1 4 5 2 lim
3 2 − + − −∞ → x x x x hisoblang. 0 4
1 4 lim 5 1 2 lim 1 4 5 1 2 lim 1 4 5 2 lim 3 3 2 3 3 2 3 2 = = − + − = − + − = − + − −∞ → −∞ → −∞ → −∞ → x x x x x x x x x x x x x x x
4. 5 2 4 3 lim 2 − + +∞ →
x x hisoblang. 2 3
. 5 2 0 . 4 3 5 2 lim 4 3 lim 5 2 4 3 lim 5 2 4 3 lim
2 2 2 = + + = − +
= − + = − + +∞ → +∞ → +∞ → +∞ →
x x x x x x x x x 22
1-rasm 2-rasm
biror haqiqiy o’zgaruvchi bo’lib, c fiksirlangan haqiqiy son bo’lsin. x o’zgaruvchi c songa yaqinlashadi deyilganda x o’zgaruvchi c ga
yaqin bo’lgan ixtiyoriy qiymatga erisha olishi tushiniladi. x ning
c ga
yaqinlashishini ifodalash uchun c x → simvol ishlatiladi. Funksiyaning limiti tushunchasi quyidagichadir: Agar x
ga yaqinlashganda ) (x f ning qiymati A ga yaqinlashsa, A ga
) (x f
funksiya x ning
c ga yaqinlashgandagi limiti deyiladi. Misol. Quyidagi funksiyaning 3 → x dagi limitini hisoblaylik . 3
) ( 2 − − = x x x f
3 9 ) ( 2 − − = x x x f funksiya 3 =
dan boshqa barcha nuqtalarda aniqlangandir. Biz quyidagicha yozishimiz mumkin:
3
3 ( ) 3 )( 3 ( 3 9 ) ( 2 + = − − + = − − = x x x x x x x f
Agar biz 3 ga yaqin ixtiyoriy sonni tanlasak, ) (x f funksiyaning qiymati 6 ga yaqinlashishining guvohi bo’lamiz. Quyidagi jadvallarda funksiyaning argumentlari 3 ga yaqin joylashgandagi qiymatlari keltirilgan.
x 2 2.5
2.9 2.99
2.999 f(x) 5 5.5 5.9
5.99 5.999
yoki
4 3.5 3.1 3.01
3.001 3.0001 f(x) 7 6.5 6.1
6.01 6.001 6.0001 ε +
ε − A
N ε −
ε +
δ − 0 x
δ + 0
23 Jadvallardan ko’rinib turibdiki, x 3 ga yaqinlashganda funksiyaning qiymati 6 ga yaqinlashadi. Biz
ni 3 ga etarli yaqin tanlasak, funksiyaning qiymati 6 ga shunchalik yaqin bo’ladi. Shuning uchun, 6 soni argumentning 3 ga intilgandagi limitidir. Bu fikr matematik tilda quyidagicha yoziladi: 6 ) ( lim
3 = → x f x
Endi funksiya limitining nuqtadagi ta’rifini keltiramiz. Ta’rif. Agar ixtiyoriy 0 > ε son uchun shunday 0 >
son topilsaki, x o’zgaruvchining δ
− c x tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida ε
− A
( tengsizlik bajarilsa, A son
) (x f funksiyaning c nuqtadagi limiti deyiladi va c x A x f → = ) ( lim kabi belgilanadi. Funksiya nuqtadagi limitining tushunchasini quyidagicha izohlash mumkin.
Ixtiyoriy 0 > ε son uchun, c nuqtaning shunday δ atrofi topiladiki, c x ≠ shartni qanoatlantiruvchi shu atrofdagi barcha x lar uchun funksiya grafigining mos ordinatalari ε ε + < < −
x f A ) ( oraliqqa joylashadi (2-rasm). Misol. 8 ) 1 3 ( lim 3 = − →
x bo’lsa, 0015 .
8 ) 1 3 (
− −
shartni qanoatlantiruvchi δ ni toping. Avvalo, 3 8 ) 1 3 ( − − − x va x lar orasidagi munosabatni topamiz. 3 3
3 8 ) 1 3 ( − = − = − − x x x bo’lgani uchun, 0015 .
8 ) 1 3 (
− −
tengsizlikdan,
0015
, 0 3 3 < −
yoki 0005
, 0 3 < −
, bundan esa, 0005
, 0 = δ ni hosil qilamiz.
Ta’rif 1. ) (x f funksiya ) ,
a oraliqda aniqlangan bo’lsin. Agar ixtiyoriy 0 > ε uchun shunday 0 1
δ son topish mumkin bo’lsaki, 1 0
< −
a x shartni qanoatlantiruvchi barcha x lar uchun ε
− K x f ) ( tengsizlik o’rinli bo’lsa, K songa
) (x f funksiyaning a ga
o’ng tomondan yaqinlashgandagi (o’ng tomonli) limiti deyiladi va K x f a x = + → ) ( lim ko’rinishda belgilanadi. Ta’rif 2. ) (x g funksiya ) ,
b oraliqda aniqlangan bo’lsin. Agar ixtiyoriy 0 >
uchun shunday 0 2 > δ son topish mumkin bo’lsaki, 0 2
−
−
x δ
24 shartni qanoatlantiruvchi barcha x lar uchun ε
− L x g ) ( tengsizlik o’rinli bo’lsa, L songa
) (x g funksiyaning a ga chap tomondan yaqinlashgandagi (chap tomonli) limiti deyiladi va
= − → ) ( lim
ko’rinishda belgilanadi.
3-rasm 4-rasm Misol.
> = < − = 0 agar
1 0 0 0 agar
1 ) ( x x agar x x f
Bu funksiyaning grafigi 3-rasmda keltirilgan. Chap va o’ng limitlarni hisoblasak,
1
( lim
0 − = − →
f x va
1
( lim
0 = + → x f x
Shuning uchun ) ( lim ) ( lim 0 0
f x f x x + − → → ≠ Misol. = ≠ = 0 agar 2 0 agar ) (
x x x g funksiyaning bir tomonli limitlarini hisoblaylik. 0 )
lim ) ( lim , 0 ) ( lim ) ( lim 0 0 0 0 = = = − = + + − − → → → →
x g x x g x x x x
Shuning uchun, ) ( lim ) ( lim 0 0
g x g x x + − → → = . Shu narsani qayd qilish kerakki, o’ng limitning mavjudligidan chap limitning mavjudligi va aksinchasi kelib chiqmaydi. Bir tomonli limitlar mavjud bo’lgani bilan ularning qiymatlari har xil bo’lishi mumkin. Teorema. Agar chap ) ( lim x f a x − → va o’ng ) ( lim x f a x + → limitlar mavjud bo’lib, ularning limitlari teng bo’lgandagina ) (
x f a x → limit mavjud bo’ladi. y 0 -1 1 0 x y 25
> + ≤ − = 1 2 1 agar 4 ) ( 2 2 x agar x x x x h funksiyaning 1 =
nuqtadagi chap va o’ng limitlarini hisoblaylik. 3 )
( lim
) ( lim , 3 ) 4 ( lim ) ( lim 2 1 1 2 1 1 = + = = − = + + − − → → → →
x h x x h x x x x ,
Shuning uchun, 3 ) ( lim
1 = → x h x .
≥ −
= 1
1 1 agar ) (
x x x f funksiyaning ) (
1 x f x → hisoblang. 1 ) 1 ( lim
) ( lim 1 1 − = − = → → + x x x f va
1 lim
) ( lim 1 1 = = → → − x x f x x .
Chap va o’ng limitlar o’zaro teng bo’lmaganligi uchun, ) ( lim 1
f x → limit mavjud emas.
Teorema(Limitning yagonaligi haqida). Agar
L x f c x = → ) ( lim va M x f c x = → ) ( lim bo’lsa, M L = bo’ladi. Isboti. Teskarisini faraz qilaylik, ya’ni M L ≠ bo’lsin. Bu farazning noto’g’ri ekanligini ko’rsatamiz. L x f c x = → ) ( lim bo’lganligi uchun, ixtiyoriy ε > 0 uchun shunday 0 1 > δ topiladiki, 1 0 δ < −
c x shartni lar uchun ε
− L x f ) ( tengsizlik o’rinli bo’ladi. Xuddi shuningdek, M x f c x = → ) ( lim bo’lganligi uchun, ixtiyoriy ε > 0 uchun shunday
0 2 > δ topiladiki, 2 0
< −
c x shartni qanoatlantiruvchi x lar
uchun ε
− M
( tengsizlik o’rinli bo’ladi. U holda M x f x f L M x f x f L M L − + − ≤ − + − = − ) ( ) ( ) ( ) ( Demak, ixtiyoriy ε > 0
uchun shunday 0 1 > δ va 0 2 > δ topiladiki, 1 0
< −
c x va
2 0 δ < −
c x shartlarni qanoatlantiruvchi x lar uchun ε ε
2 = + < − M L o’rinli bo’ladi. Agar biz ( )
1 , min δ δ δ = deb olsak, δ
−
c x 0 shartni qanoatlantiruvchi x lar uchun ε 2
− M L bo’ladi. Agar biz
− = 2 1 ε deb tanlab olsak, δ
−
0 shartni qanoatlantiruvchi x lar uchun M L M L −
− qarama-qarshi tengsizlikka kelamiz. Shuning uchun, M L = bo’ladi. Teorema. Agar L x f c x = → ) ( lim va M x g c x = → ) ( lim bo’lsa, 26
L x g x f x g x f c x c x c x ± = ± = ± → → → ) ( lim ) ( lim )] ( ) ( [ lim bo’ladi. Isboti. Ixtiyoriy ε > 0 berilgan bo’lsin. L x f c x = → ) ( lim bo’lgani uchun, shunday
1 δ topiladiki, 1 0 δ < −
c x shartni qanoatlantiruvchi x lar
uchun 2 ) ( ε
− L
tengsizlik o’rinli bo’ladi. Xuddi shuningdek, 2 0
< −
c x bo’lganda 2 )
ε < − M x g bo’ladi. U holda etarli kichik ) ,
2 1 δ δ δ = uchun, δ
−
0 shartni qanoatlantiruvchi x larda
ε ε ε = +
− +
= + − + 2 2 ) ( ) ( ) ( )) ( ) ( (
x g L x f M L x g x f
o’rinli bo’ladi. Demak, ta’rifga ko’ra yuqoridagi xossa isbotlandi. Teorema. Agar L x f c x = → ) ( lim va M x g c x = → ) ( lim bo’lsa, M L x g x f x g x f c x c x c x ⋅ = ⋅ = ⋅ → → → ) ( lim ) ( lim )] ( ) ( [ lim bo’ladi. Teorema. Agar
= → ) ( lim va 0 ) ( lim
≠ = → M x g c x bo’lsa, M L x g x f x g x f c x c x c x = = → → → ) ( lim ) ( lim ) ( ) ( lim
bo’ladi. Misollar. Isbot qiling: 11 9 1 2 1 2 lim
5 = + − →
x x
Echish. Ta’rifga ko’ra ixtiyoriy ε > 0 uchun, shunday 0 > δ topiladiki, δ
−
5 0
shartni qanoatlantiruvchi x lar uchun ε
− + − 11 9 1 2 1 2 x x tengsizlik o’rinli ekanligini ko’rsatishimiz kerak. yoki ε
+ − = + − = + − = − + − 1 2 5 11 4 1 2 5 11 4 ) 1 2 ( 11 20 4 11 9 1 2 1 2
x x x x x x x
Bu tengsizlik o’rinli bo’lishi uchun δ ni qanday tanlash lozim? O’z-o’zidan ravshanki , 1 1 2 1 1 1 2 5 < + ⇒ > + ⇒ → x x x
27 U holda 5 11 4 1 2 5 11 4 11 9 1 2 1 2 − < + − = − + − x x x x x
Demak, ε δ 4 11 = ko’rinishda tanlab olinsa, ε ε δ = =
−
+ − = − + − 4 11 . 11 4 11 4 5 11 4 1 2 5 11 4 11 9 1 2 1 2 x x x x x
o’rinli bo’ladi. Shunday qilib, ixtiyoriy ε > 0 uchun, δ
−
5 0
shartni qanoatlantiruvchi x lar uchun ε
− + − 11 9 1 2 1 2 x x
o’rinli bo’ladi. Endi limitning xossalaridan foydalanib, limitlarni hisoblashga oid misollar ko’raylik. Misollar. ) 5 7 ( lim 2 3 − + →
x x Hisoblang. Echish. 25 5 21 9 5 3 . 7 3 5 lim 7 lim
lim ) 5 7 ( lim 2 3 3 2 3 2 3 = − + = − + = − + = − + → → → →
x x x x x x x
Misol. Aniqlang 5 3 2 lim
2 3 2 + + + → x x x x
9 15
2 3 2 . 2 2 5 lim
3 2 lim 5 3 2 lim 5 3 2 lim
2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 = + + + = + + + = + + + = + + + → → → →
x x x x x x x x x x x x
3 27
3 3 − − →
x x
3 ≠
Download 345.12 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|