Javoblar Kotelnikov teoremasi

Savollar.

1. Tasodifiy va deteminallashgan signallarga misollar keltiring.

2.Kotelnikov teoremasining mazmun mohiyatini tushuntiring.

3.Python dasturlash tilida turli uzunlikdagi signal generasiya qiling. Hamda turli kvantlash qadamini o‘rnatib signalni hosil qiling.

Javoblar

2.Kotelnikov teoremasi .

Analogli signalni buzilishsiz yoki yo‘qotishsiz tiklash uchun Kotelnikov (Nyquist-Shannon) teoremasidan foydalaniladi. Ya’ni cheklangan spektrli har qanday uzluksiz signal uzluksiz signal spektrining yuqori chastotasidan ikki barobar yuqori chastota bilan olingan diskret namunalaridan bemalol qayta tiklanishi mumkin.

Kotelnikov teoremasining formulasi quyidagichadir:

Bunda:

Fs – signalning diskretlash chastotasi,Fa – analog signalning yuqori spektr chastotasi.

Ushbu ta’rif noldan Fa gacha bo‘lgan chastotalardan iborat vaqt funksiyalariga tegishli.

Radiotexnikada real muammolarda signal spektri har qanday chastota oralig‘ida yotishi va har qanday chastotada ishga tushishi va tugashi mumkin. Shu munosabat bilan Kotelnikov teoremasining ta’rifi bunday signalning spektr kengligiga nisbatan to‘g‘ri hisoblanadi:

Cheklangan spektrga ega bo‘lgan har qanday uzluksiz signal uzluksiz signal spektri bilan egallagan chastotadan ikki marta yuqori chastota bilan olingan diskret namunalaridan aniq va yo‘qotishsiz tiklanishi mumkin.

bunda

- uzluksiz signal spektrining kengligi.

Kvantlangan signallar uzluksiz yoki diskret miqdorlar qatoridan qator oxirgi qiymatlarni oladi. Odatda, signallar sathga, ya’ni amplitudaga ko‘ra kvantlanadi.

1. Tasodifiy va deteminallashgan signallarga misollar keltiring

Signal axborotning material tashuvchisidir. Taqdim etish usuliga ko‘ra signallar ikki guruhga bo‘linadi – tasodifiy va deterministik. Ular matematik model yoki signal parametrlarining o‘zgarishini tavsiflovchi funksiya bilan xarakterlanadi.

Tasodifiy signal vaqt funksiyasidir, uning qiymatlari oldindan noma’lum va faqat ma’lum ehtimol bilan taxmin qilish mumkin. Tasodifiy signallarning asosiy xususiyatlari qo‘yidagilardir:

taqsimlash qonuni(ma’lum intervalda signal qiymatining kirib kelish nisbiy vaqti ),Quvvatni spektral taqsimlash.

Deterministik signallar analitik funksiya (analitik aniqlangan) bilan tasvirlanadi va ularning xatti-harakati har qanday vaqtda to‘liq ma’lum bo‘ladi.  Deterministik signallar, o‘z navbatida 2 ta davriy va davriy bo‘lmagan ko‘rinishda bo‘ladi Davriy bo‘lmagan signallari odatda, vaqt ichida cheklangan.

Davriy signal - bu ma’lum davr bilan vaqt o‘tishi bilan takrorlanadigan signal hisoblanadi, ya’ni qo‘yidagi shart bajariladi:

s(t)=s(t+kT),bu yerda  k – istalgan butun son, T – takrorlanish davri.

Davriy signalga misol sifatida qo‘yidagi ifoda bilan tasvirlanadigan garmonik tebranishni keltirish mumkin: bunda A – Tebranish amplitudasi, φ – boshlang‘ich faza.

Ma’lumki, har qanday murakkab davriy signal asosiy chastota ω = 2π/T  ga  kupaytirilganda chastotalar bilan garmonik tebranishlar yig‘indisi sifatida ifodalanishi mumkin.

3.Python dasturlash tilida turli uzunlikdagi signal generasiya qiling. Hamda turli kvantlash qadamini o‘rnatib signalni hosil qiling.

Quyida keltirilgan misolda signalni analogli, raqamli va kvanlangan formasini ko‘rishimiz mumkin.

1-qadam. Vaqtli qator qiymatlarini yaratish: np.linspacye(start, stop, num) funksiya [start, stop] diapazonida vektor qiymatlarini yaratadi, num argumenti esa diapazondagi nuqtalar sonini beradi.

2-qadam. Tasodifiy formadagi signalni yaratish: np.sin() funksiyasi yordamida garmonik tuplamdagi ta’sir asosida signalni yaratamiz. Oddiylik uchun barcha komponentlarning amplitudalari 1 ga teng va faza bosqichi nolga teng qilib olingan.

3-qadam. Grafikni chizish. Matplotlib usullari signalni turli stillarda ifodalashga yordam beradi.

plot() – standart grafik bo‘lib, signalni analog formada chiqaradi,

stem() – signal otschetlari ko‘rinishidagi grafik hisoblanadi va signalni diskret formada chiqaradi,

step() – daraja ko‘rinishdagi grafik, signalni kvantlangan formada chiqaradi

Dastur kodini kamaytirish maqsadida yordamchi plt_sel(s, *args, **kwargs), funksiya yaratilgan bo‘lib, grafikni ifodalash stilini tanlab beradi. kotoraya vыbirayet stil otobrajeniya grafika. Funksiyadagi *args argument ordinata o‘qi bo‘yicha qiymatlarni uzatadi va **kwargs argumenti absissa o‘qi bo‘yicha qiymatlarni o‘zatadi.

n = 40

# time vector

t = np.linspacye(0, 1, n, endpoint=Truye)

# sine wave

x = np.sin(np.pi*t) + np.sin(2*np.pi*t) + np.sin(3*np.pi*t) + np.sin(5*np.pi*t)

# Select: plot, stem, bar

def plt_sel(s, *args, **kwargs):

if s == 0:

return plt.plot(*args)

if s == 1:

return plt.stem(*args, **kwargs)

if s == 2:

return plt.step(*args)

# Subplot titles

t_titles = [’Analogli’, ’Diskretli’, ’Kvantlangan’]

# Plot figures

fig = plt.figure(figsize=(16, 4), dpi=80)

for i in range(3):

plt.subplot(1, 3, i+1)

plt.title(t_titles[i])

plt_sel(i, t, x, use_line_collection=Truye)

plt.xlim([0, 1])

plt.yticks(np.linspacye(np.floor(np.min(x)), np.cyeil(np.max(x)), 9)

plt.grid(Truye)

# change plot viye

ax = plt.gca()

ax.spines[’right’].set_color(’none’

ax.spines[’top’].set_color(’none’)

ax.spines[’bottom’].set_position((’data’,0))

plt.tight_layout()

Kvantlash va namuna olish qadamlari noto‘g‘ri tanlansa, signalni analogdan diskret shaklga o‘tkazish buzilish bilan sodir bo‘ladi. Namuna olish qadami va kvantlash qadami noto‘g‘ri tanlanishga misol ko‘rib o‘tamiz.

Sinus grafigini o‘rnatish. Signa uzunligi n = 64 namunalar bo‘lib, unga garmonik signalning bir davri qo‘yiladi. Kvantlash qadami shunday belgilansinki, bizda d = 3, 5, 8, va 32 ta qiymatlar bo‘lsin.

# time vector

t = np.linspacye(0, 1, n, endpoint=Truye)

# sine wave

ds = np.sin(2*np.pi*t

# discrete step

step_lst = np.array([3, 5, 8, 32])

#plot figure

fig = plt.figure(figsize=(12, 6), dpi=80)

for i in range(4):

tt = np.linspacye(0, 1, step_lst[i], endpoint=Truye)

plt.subplot(2, 2, i+1)

plt.title(Nuqtalar soni = {}’.format(step_lst[i]))

plt.plot(t, ds, ’-’, linewidth=2.0)

plt.plot(tt, np.sin(2*np.pi*tt), ’--o‘, linewidth=1.5, markersize=8)

plt.step(tt, np.sin(2*np.pi*tt), linewidth=1.5)

plt.grid()

plt.xlim([0, 1])

plt.tight_layout()