Ўйинлар назарияси

Matritsali o‘yinning yechimi
5-ta’rif. Matritsali G o‘yinning yechimi deb shunday



juft aralash strategiyalarga va haqiqiy songa aytiladiki, agar sof strategiyalar uchun



bo‘lib, sof strategiyalar uchun



bo‘lsa, vektorlar optimal strategiya, esa o‘yinning bahosi deb ataladi.

Misol.

matritsali o‘yin uchun

vektorlar optimal strategiyalar bo‘lib, o‘yinning bahosi nolga teng.

O‘yin matritsasi xossaga ega bo‘lgan o‘yin simmetrik o‘yin deb ataladi.

Simmetrik o‘yinda o‘yinning bahosi 0 ga teng bo‘lib, va o‘ynovchilarning optimal strategiyalari bir xil bo‘ladi. haqiqatan ham, o‘ynovchi uchun yutuqlar funksiyasi



hamda bo‘lganligi uchun

.

Demak, ikala o‘ynovchi ham bir xil aralash strategiyani qo‘llansa, o‘yinning bahosi 0 ga teng bo‘lar ekan. Endi va larning optimal strategiyalari mos ravishda va bo‘lsin, u holda



Agarda ixtiyoriy aralash strategiyani qo‘llansa lekin bizga ma’lumki, bo‘lganda bo‘ladi.

Demak, ekan.

Xuddi shuningdek,

ixtiyoriy aralash strategiyani qo‘llansa bo‘ladi. Lekin uchun . Demak, bir tomondan bo‘lsa, ikkinchi tomondan, bo‘ladi. Bulardan ekan, hamda ikala o‘ynovchi ham bir xil strategiya bilan o‘ynar ekan.

Simmetrik o‘yinga misol sifatida quyidagi o‘yinni ko‘ramiz. O‘yinning nomi «tosh, qog‘oz va qaychi». Bu o‘yinda 0 summali 2 ta o‘yinchi qatnashadi. Ular bir paytda bir-biriga bog‘liqsiz ravishda tosh, qog‘oz va qaychidan birini tanlaydi. Qog‘oz bilan toshning kombinatsiyasi hosil bo‘lsa, qog‘ozni tanlagan o‘yinchi 1 ochko yutadi (qog‘oz Bilan toshni o‘rash mumkin). Tosh bilan qaychining kombinatsiyasi hosil bo‘lsa, toshni tanlagan o‘yinchi 1 ochko yutadi (tosh Bilan qaychini sindirish mumkin). Qog‘oz bilan qaychining kombinatsiyasi hosil bo‘lsa, qaychini tanlagan o‘yinchi 1 ochko yutadi (qaychi Bilan qog‘ozni qirqish mumkin). Bir xil narsa tanlangan bo‘lsa, hech Kim yutmaydi. Bu o‘yinni yutuqlar matritsasi quyidagicha bo‘ladi.

Ikkala o‘ynovchining ham optimal strategiyasi –

T ye o r ye m a . Agar uyin matritsasining har bir elementiga biror tayin son qo‘shsak, hosil bo‘lgan yangi o‘yinda optimal strategiyalar o‘zgarmaydi, faqat o‘yinning bahosi birlik ortadi, ya’ni yangi o‘yinning bahosi ga teng bo‘ladi.

Isbot. Berilgan o‘yin uchun ta’rifga ko‘ra

. (9.2.1)

yangi o‘yin uchun esa

. (9.2.2)

(9.2.2) ni ochib chiqsak :

. (9.2.3)

Bizga ma’lumki,

.

Shuning uchun (9.2.1) dan va (9.2.3) dan

(9.2.4)

hosil bo‘ladi. Demak , o‘zgarmas son optimal strategiyalariga ta’sir etmaydi. Agar har partiyadan oldin o‘ynovchi ga miqdorda to‘lov to‘lasa, u holda

(9.2.5)

ni shunday tanlash mumkinki, matritsaning elementlari musbat bo‘lsin, uning natijasida o‘yinning bahosi ham musbat bo‘lsin. Endi matritsali uyin uchun asosiy teoremani isbotsiz keltiramiz.

Teorema. Har bir matritsali o‘yin uchun va mavjud va o‘zaro



teng bo‘lsa matritsali o‘yin yechimga ega.