Jordan katagi. Jordan matritsasi. Matritsalarni Jordan shakliga keltirish haqidagi teorema
Download 228.45 Kb. Pdf ko'rish
|
Maruza 9. Jordan katagi
- Bu sahifa navigatsiya:
- 25.1-teorema.
- 25.1-teoremaning isboti.
|
Jordan katagi. Jordan matritsasi. Matritsalarni Jordan shakliga keltirish haqidagi teorema. Biz ushbu mavzuda kompleks fazoda berilgan ixtiyoriy almashtirish uchun uning matritsasini birmuncha sodda ko’rinishga keltiruvchi bazisni ko’rsatamiz. Aytallik
o’lchamli kompleks fazoda A chiziqli almashtirish berilgan bo’lsin. Agar
chiziqli almashtirish n ta chiziqli erkli xos vektorlarga ega bo’lsa, bu xos vektorlani bazis sifatida tanlasak, chiziqli almashtirish matritsasi diagonal shaklga keladi. Chiziqli almashtirishning chiziqli erkli xos vektorlari soni
dan kichik bo’lsa, uning matritsasi diagonal shaklga yaqin bo’lgan normal shaklga keltiriladi. Ta’kidlash joizki n o’lchamli kompleks fazodagi A chiziqli almashtirish turli xil k ta 1 2 , ,...,
k xos qiymatlarga ega bo’lsa, u holda A almashtirish k tadan kam bo’lmagan chiziqli erkli xos vektorlarga ega. Umiman olganda chiziqli erkli xos vektorlar soni, turli xos qiymatlar sonidan katta bo’lishi mumkin.
n o’lchamli kompleks fazoda ixtiyoriy A chiziqli almashtirish berilgan bo’lib, 1 2 , ,...,
k
uning xos sonlari va bu xos sonlarga mos keluvchu ( ) m m k ta 1 1 1 , ,...,
e f h xos vektorlar bo’lsin. U holda
1 1 1 ,..., ; ,...,
;.......; ,..., p q s e e f f h h
(25.1) vektorlardan iborat bazis mavjudki, A almashtirish 1 1 1
2 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 , ,..., ; , ,..., ; ...........................................................................; , ,...,
; p p p q q q k k s s k s Ae e Ae e e Ae e e Af f Af f f Af f f Ah h Ah h h Ah h h
(25.2) ko’rinishda bo’ladi. Bu teoremani isbotlashdan avval (25.2) ko’rinishidagi chiziqli almashtirishlarning xossalarini o’rganib chiqamiz. Ravshanki, (25.2)
ko’rinishidagi chiziqli almashtirish 1 ,..., p e e vektorlarni yana shu vektorlarga o’tkazadi. Xuddi shunday boshqa bazis vektorlar gruppasini ham shu vektorlarga o’tkazadi. Demak, bazis vektorlarning har bir gruppasi A
almashtirishga nisbatan invariant qism-fazo tashkil qiladi. Bundan tashqari har bir qism-fazoda bittadan xos vektor bor. Masalan, 1 2 , ,...,
p e e e vektorlardan vujudga kelgan qism-fazoda 1
vektor xos vektor bo’ladi. Endi bu qism fazolarning har birida faqat birgina xos vektor bor ekanligini ko’rsataylik. Haqiqatan ham, agar 1 2
,..., p e e e bazis vektorlardan tuzilgan qism- fazoda biror 1 1
2 2 ...
p p c e c e c e vektor xos vektor bo’lsa, u holda 1 1 2 2
1 1 2 2
( ...
) ( ... ) p p p p A c e c e c e c e c e c e . Bu tenglikning chap tomoniga (25.2) formuladagi ifodalarini qo’ysak 1 1 1
2 1 1 2 1 1 1 1 2 2 ( ) ...
( ) ... ) p p p p p c e c e e c e e c e c e c e
tenglik hosil bo’ladi. Bundan bazis vektorlarning mos koeffitsientlarini tenglashtirib, 1 1 2
2 1 3 2 1 1 1 1 , , ......................., , ,
p p p p c c c c c c c c c c c
tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz. Dastlab
1 ekanligini ko’rsatamiz. Chindan ham, agar 1 bo’lsa, 0 p c , undan yuqoridagi tenglikdan esa 1 0
c va hokazo, qolgan tengliklardan 2 2 1 ...
0 p c c c ekani kelib chiqadi. Bu esa 1 1
2 2 ...
p p c e c e c e xos vektorning noldan farqli ekaligiga zid. Demak, 1
. Endi 1
ekanligidan foydalanib, sistemaning birinchi tenglamasidan 2 0
, ikkinchidan 3 0 c va hokazo oxirgi tenglamasidan 0
ekanligini hosil qilamiz. Bundan esa xos vektor 1 1
c e ga teng ekanligi kelib chiqadi. Demak, 1 2
,..., p e e e vektorlarga qurilgan qism-fazo ko’paytuvchining aniqligida yagona xos vektorga ega. Xuddi shunday qolgan qism-fazolar ham ko’paytuvchining aniqligida yagona xos vektorga ega eganligi ko’rsatiladi. Endi (25.2) ko’rinishidagi almashtirishning matritsasini yozib olamiz. Har bir qism-fazo invariant qism fazo ekanligidan, chiziqli almashtirish matritsasining birinchi p ta ustunida faqat birinchi p ta yo’l elementlarigina noldan farqli bo’lishi kelib chiqadi. Xuddi shunday, keyingi q ta ustunning shu ustunlar nomerlari bilan bir hil nomerli yo’llarida turgan elementlarigina noldan farqli bo’lishi, va hokazo, oxirgi s ta ustun uchun ham shu munosabat o’rinli bo’ladi. Shunday qilib, berilgan bazisda (25.2) ko’rinishidagi almashtirish matritsasi bosh diagonal bo’yicha joylashgan
ta katakdan iborat bo’lib, bu kataklarning hech biriga tegishli bo’lmagan elementlarning hammasi nolga teng bo’ladi.
Bu kataklarda qanday elementlar turishini bilish uchun esa, har bir gruppa vektorlarining qanday almashtirilishini yana bir marta yozish kifoya, masalan, 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 , , ...................... , p p p p p p Ae e Ae e e Ae e e Ae e e Bazisning ma’lum almashtirilishiga javob beradigan matritsaning qanday tuzilishini yodga olsak, vektorlarning berilgan gruppasiga mos bo’lgan katagi 1 1 1 1 1 1 0 ... 0 0 0 1 ...
0 0 ... ... ... ... ... ... 0
0 ...
1 0 0 0 ...
0 A
(25.3)
ko’rinishida bo’lishini topamiz. Ushbu ko’rinishidagi matritsalarga Jordan kataklari deb ataladi. Butun matritsa esa, mos tartibda, , ,...,
kataklardan tuzilgan, quyidagi ko’rinishdagi matritsa bo’ladi 1 1 1 1 2 2 1 0 ... 0 0 0 0 ...
0 ...
0 0 0 ... 0 0 1 ...
0 0 0 0 ...
0 ...
0 0 0 ... 0 0 0 ...
0 0 0 0 ...
0 ...
0 0 0 ... 0 ... ... ... ... ... ... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
... 0 0 0 ...
0 0 0 ... 0 ... 0 0 0 ... 0 0 0 0 ... 0 1 0 ... 0 ... 0 0 0 ... 0 0 0 0 ... 0 0 1 ... 0 ... 0 0 0 ... 0 0 0 2 2 0 ...
0 0 0 ... 0 ... 0 0 0 ... 0 ... ... ... ... ... ... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
... 0 0 0 ...
0 0 0 0 ...
... 0 0 0 ...
0 ...
... ... ... ... ... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
... 0 0 0 ...
0 0 0 0 ...
0 ...
1 0 ... 0 0 0 0 ...
0 0 0 0 ...
0 ...
0 1 ... 0 0 0 0 ...
k k 0 0 0 0 ... 0 ...
0 0 ... 0 ...
... ... ... ... ... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
... 0 0 0 ...
0 0 0 0 ...
0 ...
0 0 0 ... k k Chiziqli almashtirish matritsasining ushbu ko’rinishga uning normal shakli yoki Jordan normal shakli deyiladi. Demak, matritsaning Jordan normal shaklida uning dioganali bo’ylab bir nechta Jordan kataklari joylashib, qolgan elementlari nolga teng bo’ladi. Endi biz 25.1. teoremaning isbotida kerak bo’ladigan qiyidagi lemmani keltiramiz.
n o’lchamli V kompleks fazoda ixtiyoriy A chiziqli almashtirish uchun kamida bitta 1
o’lchamli invariant qism fazo mavjud.
almashtirishni qaraylik. Har qanday almashtirishning xos vektori bo’lgani kabi, A ham e xos vektorga ega, ya’ni A e e . Ushbu e vektorga ortogonal
vektorlardan tuzilgan 1 n o’lchamli '
qism
fazo A almashtirishga nisbatan invariant ekanligini ko’rsatamiz. Ixtiyoriy '
( , ) 0
ekanligidan ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
0 Ax e x A e x e x e kelib chiqadi. Demak, '
, ya’ni ' V qism fazo A almashtirishga nisbatan invariant.
Endi biz ixtiyoriy chiziqli almashtirishni Jordan normal shaklga keltirish mumkinligi haqidagi 25.1- teoremaning isbotiga o’tamiz.
o’lchamiga nisbatan induksiya usulini bo’yicha olib boramiz. Chiziqli fazo bir o’lchamli bo’lganda teorema sharti o’rinli bo’lishi ravshan. Chiziqli almashtirish uchun n o’lchamli fazoda bunday bazis mavjud deb faraz bilib, 1
o’lchamli fazoda kerakli bazisni topish mumkin ekanligini isbot qilamiz.
1
o’lchamli V fazoda ixtiyoriy chiziqli almashtirish bo’lsin. 25.2-lemmaga asosan,
fazoda A almashtirishga nisbatan invariant bo’lgan
o’lchamli '
qism-fazo mavjud. Induksiya faraziga ko’ra n o’lchamli fazoda teorema o’rinli bo’lgani uchin, '
fazoda chiziqli almashtirishni normal shaklga keltiradigan bazis mavjud. Bu bazisni 1 2
2 1 2 , ,... ; , ,...,
;...; , ,...,
p q s e e e f f f h h h
kabi belgilaylik, bu yerda ... p q s n
. Ushbu bazisda chiziqli almashtirish quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi
1 1 1 2 1 1 2 1 1 , , .......................... , p p p Ae e Ae e e Ae e e 1 2 1 2 1 2 2 1 2 , , .......................... , q q q Af f Af f f Af f f . . . 1 1 2 1 2 1 , , .......................... . k k s s k s Ah h Ah h h Ah h h
Bu bazisni 1 2 1 2 1 2 , ,... ; , ,..., ;...; ,
,..., p q s e e e f f f h h h vektorlar bilan birgalikda V fazoda bazis tashkil qiladigan biror e vektor bilan to’ldiraylik. Ushbu e
vektorga A almashtirishni ta’sir qildirib, Ae vektorni bazis vektorlar bo’yicha yoyib yozamiz: 1 1 1 1
1 1 ...
... ...
... .
q q s s Ae e e f f h h e
Umimiylikka ziyon yetkazmagan holda 0 deb olish mumkin. Haqiqatdan ham, agar biror bazisda
chiziqli almashtirish normal shaklda bo’lsa, u holda
almashtirish ham bu bazisda normal shaklda bo’ladi. Shuning uchun, 0
holda
almashtirish o’rniga A E almashtirishni qarash mumkin. Demak, 1 1
1 1 1 1
... ...
... ...
p p q q s s Ae e e f f h h . (25.4) Endi e vektorni e vektor bilan Ae vektor mumkin qadar sodda ko’rinishda bo’ladigan qilib almashtiramiz. Buning uchun e vektorni ushbu ko’rinishda izlaymiz:
1 1
1 1 1 1
... ...
... ...
p p q q s s e e e e f f h h
(25.5)
Bundan 1 1
1 1 1 1
( ...
) ( ... ) ... ( ... ) p p q q s s Ae Ae A e e A f f A h h
1 1 1 1
1 1 ...
... ...
... p p q q s s e e f f h h (25.6) 1 1 1 1
1 1 ( ... ) ( ... ) ... ( ... ). p p q q s s A e e A f f A h h
tenglikni hozil qilamiz. Endi 1 2 1 2 1 2 , ,... , , ,..., ,..., , ,..., p q s koeffitsientlarni tenglikning o’ng tomoni mumkin qadar kam qo’shiluvchilar qoladigan qilib tanlashga harakat qilamiz. Buning uchun 1 2
,... k xos qiymatlarning hech biri no’lga teng bo’lmagan va xos qiymatlarning ba’zilari nolga teng bo’lgan hollarni alohida ko’rib chiqamiz. Aytaylik, xos qiymatlarning hech biri nolga teng bo’lmasin, ya’ni 1 2
0,..., 0
. Bu holda e vektorni 0
bo’ladigan qilib tanlab olish mumkin. Haqiqatan ham,
'
fazodagi har bir gruppa vektorlaridan tuzilgan qism-fazoni shu qism fazoga o’tkazganligi uchun, 1 2
,... p koeffitsientlarni tanlash kifoya. Bu vektorlarni o’z ichiga olgan hadlarni alohida yozib olaylik. 1 1
1 1 ...
( ...
) p p p p e e A e e 1 1
1 1 1 2 1 1 2 1 1 ... ( ) ... ( )
p p p p e e e e e e e
1 1 1
2 1 2 2 1 3 2 1 1 1
1 1 ( ) ( ) ... ( ) ( ) . p p p p p p p e e e e Agar
1 1 2 1 1 1 1 1 , ,..., p p p p p deb olsak, tenglikning o’ng tomoni nolga aylanadi. Bu holda (25.6) tengliknining o’ng tomonida 1 2 , ,... p e e e
basis vektorlar ishtirok etmaydi. Qolgan xos vektorlar ham noldan farqli bo’lganligi uchun, xuddi shunga o’xshab, (25.6) tenglikning o’ng tomonidagi barcha hadlarini qisqarib ketadigan 1 2
2 , ,..., ,..., , ,..., q s koeffisientlarni tanlash mumkin. Natijada biz 0
shartni qanoatlantiruvchi vektorni hosil qiamiz. Bu vektorni mavjud basis vektorlar tarkibiga qo’shib, 1
o’lchamli V fazoda 1 2 1 2 1 2 ', , ,... , , ,..., ,..., , ,..., p q s e e e e f f f h h h
bazisni hosil qilamiz. Bu bazisda chiziqli almashtirish kanonik ko’rinishga kelib, e xos vektorga mos kelivchi xos qiymat nolga teng bo’ladi. Biz yuqorida 0
deb olish uchun A almashtirish o’rniga A E almashtirishni qarab ketgan edik. Agar to’g’ridan to’gri 0
holni qaralsa, xuddi shunga oxshab e xos vektorni xosil qilish mumkin, lekin bu xos vektorga mos kelivchi xos qiymat
ga teng bo’ladi.
Endi ikkinchi holni ya’ni xos sonlarning ba’zilari nolga teng bo’lgan holni qaraymiz. Bu holda (25.6) tenglikning o’ng tomonidagi ifodani xos qiymati nolga teng va xos qiymatlari noldan farqli gruppalarga ajratish orqali ikki xil qo’shiluvchilar ko’rinishida yozib olamiz. Xos qiymatlari noldan farqli bo’lgan gruppalarga mos keluvchi qo’shiluvchilarni birinchi holdagi kabi, koeffitsientlarni tanlash hisobiga nolga aylantirib yuborish mumkin. U holda (25.6) tenglikning o’ng tomonida faqat xos qiymatlari nolga teng bo’lgan gruppalardan iborat qo’shiluvchilar qoladi. Aytaylik, 1 2
0 t , ( )
k
vektorlar 1 2 1 2 1 2 , ,... , , ,..., ,...,
, ,...,
p q r e e e f f f g g g bo’lsin. Bu holda (25.6) tenglik quyidagi ko’rinishga keladi
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 ...
... ...
... ( ... ) ( ... ) ... ( ... ). p p q q r r p p q q r r Ae e e f f g g A e e A f f A g g
(25.7) Ammo
1 2 ... 0 t bo’lgani uchun 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 0, ,...,
, 0, ,..., , .................................................., 0, ,...,
. p p q q r r Ae Ae e Ae e Af Af f Af f Ag Ag g Ag g
Demak 1 2 , ,... p e e e
vektorlarning (25.7) tenglik
o’ng tomonida qatnashayotgan chiziqli kombinatsiyasi ushbu ko’rinishda bo’ladi: 1 1
2 2 2 1
3 2 1 ... ... .
p p e e e e e e Bu ifodada 2 1
2 , ,..., p p faraz qilib, biz p p e haddan boshqa hamma hadlarni yo’qotib yuborishimiz mumkin. Shu operatsiyani qolgan 1 2 , ,...,
q f f f , …,
1 2 , ,..., r g g g gruppalar uchun ham ko’llasak, ...
tenglikni qanoatlantiruvchi vektorni hosil qilamiz.
Agar
... 0
q r bo’lib qolsa, u holda 0 Ae
tenglik hosil bo’lib, 1 2 1 2 1 2 ; , ,... ; , ,...,
;...; , ,...,
p q s e e e e f f f h h h
bazisda chiziqli almashtirish normal shaklga keladi.
Agar , ,...,
p q r koeffitsientlardan kamida bittasi noldan farqli bo’lsa, chiziqli almashtirishni normal shaklga keltirish uchun '
qism fazodagi bazisni o’zgartirishga tog’ri keladi. Umimiylikka ziyon yetkazmagan xolda ...
deb olaylik. Bu holda 1 1 1 1 2 , , ,...,
. p p p p p e e e Ae e Ae e Ae deb olsak 1 1
1 1 2 3 1 1 1 ...
, ...
, ......................................................... ... ,
p p p q q r r p p p p q q r r p r p r p p r q q r r e e e f g e Ae e f g e Ae e f g
1 2 1 ....................... p e Ae e
hosil bo’ladi. Tanlangan 1 1
, , ,..., p e e e e vektorlarni 1 2 1 , ,..., ,
p e e e e vektorlar bilan almashtiib qolgan vektorlarni o’zgarishsiz qoldirsak berilgan chiziqli almashtirish ushbu bazisda normal shakga keladi. Download 228.45 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|