Kardinal son. Sanoqli va kontinual to‘plamlar

Sanoqli va kontinual to‘plamlar.
Bizga ma‘lum bo‘lgan to‘plamlar quvvatlarini taqqoslaylik.
Aytaylik bizga musbat juft sonlar to‘plami berilgan bo‘lsin {2, 4, 6, .....}ushbu to‘plam bilan natural qator o‘rtasida biyektsiya o‘rnatish uchun, juft sonlar to‘plami elementlarini quyidagicha nomerlab chiqamiz.

2,	4,	6,	8,	...
1,	2,	3,	4,	...

Biyektsiya k=2n munosabat bilan o‘rnatildi, bu erda k- juft sonlar to‘plami elementi qiymati, n – natural qator elementi qiymati. Musbat juft sonlar to‘plami Natural sonlar qatorining qismi bo‘lishiga qaramay ularning quvvatlari teng ekan.
Natural va butun sonlar to‘plami o‘rtasida biyektsiya qurishga urinib ko‘ramiz. Buning uchun butun sonlar qatorini quyidagicha yozib chiqamiz va mos ravishda natural sonlar bilan nomerlaymiz.

0,	-1,	1,	-2,	2,	...
1,	2,	3,	4,	5,

Shunday qilib butun va natural sonlar o‘rtasida ekvivalentlik o‘rnatiladi, ya’ni .
Ratsional sonlar to‘plamining quvvati ham ga teng.
Bilamizki ixtiyoriy q ratsional sonni qisqarmaydigan kasr ko‘rinishida ifodalash mumkin: q=m/n, bu erda m vd n lar butun sonlar.Ratsional son q ning balandligi deb yigindiga aytiladi. Masalan 1 balandlikka faqat 0/1 son ega bo‘ladi, 2 balandlikka 1/1 va -1/1 sonlar, 3 balandlikka 2/1, 1/2, -2/1, -1/2 sonlar ega bo‘ladi. Tushunarliki berilgan balandlikdagi sonlar soni chekli bo‘ladi. Shuning uchun ham barcha ratsional sonlarni balandliklari oshishiga qarab nomerlab chiqish mumkinki, hattoki bir xil balandlikka ega bo‘lgan sonlar ham o‘z nomerlqariga ega bo‘lishadi. Natijada natural va ratsional sonalar o‘rtasida biyektsiya o‘rnatiladi.
Shunday qilib to‘plam sanoqli bo‘ladi agar uni natural sonlar qatoriga biyektiv mos qo‘yilgan bo‘lsa. Sanoqli to‘plamlarning muhim xossalarini keltiramiz.