Kardinal son. Sanoqli va kontinual to‘plamlar

Cheksizlik aksiomasi. Hech bo‘lmaganda bitta cheksiz to‘plam – natural sonlar qatori mavjud.
Ushbu aksiomaga asoslanib bundan ham murakkab strukturaga ega bo‘lgan to‘plamlarni: to‘g‘ri chiziq, tekislik va h.k. qurish mumkin. Tabiiyki savol tug‘ladi: ushbu to‘plamlarni elementlar soni bo‘yicha qanday taqqoslaymiz ?
Natural sonlar qatori to‘plam ostilari soni:

bo‘ladi. Lekin uhbu trivial natija to‘plamlarni taqqoslashda hech qanday natija bermaydi. Cheksiz to‘plamlar tarkibining yanada aniqroq baholari zarur. Ma’lum baholar to‘plamlarning quvvati va ekvivalentligi tushunchalariga asoslanadi.
Ta’rif 1. Chekli to‘plamning quvvati deb, ushbu to‘plamning barcha elementlar soniga aytiladi. Ixtiyoriy X chekli to‘plamning quvvati kabi belgilanadi.
Ta’rif 2. A chekli yoki cheksiz to‘plamlar oilasidan olingan X va Y to‘plamlar uchun biyektsiya mavjud bo‘lsa, u holda X va Y to‘plamlar ekvivalent deyiladi.
Ushbu munosabat refleksiv, simmetrik va tranzitiv, shuning uchun ham ushbu munosabat A to‘plamlar oilasini ekvivalent elementlar sinfiga bo‘ladi.
Teorema 2. Agar f funktsiya chekli X to‘plamni Y to‘plamga o‘zaro bir qiymatli akslantirish bo‘lsa, u holda va shartlar ekvivalent bo‘ladi.
Shunday qilib quvvat – turli chekli ekvivalent to‘plamlar uchun umumiy xarakteristikadir.
Elementlari soni cheksiz bo‘lgan ekvivalent to‘plamlar uchun ham bu printsip o‘rinli. Cheksiz to‘plamlar uchun quvvat tushunchasini aniqlash uchun, kardinal son tushunchasi kiritiladi.
Ta’rif 3. Cheksiz to‘plam elementlarini sonini aniqlaydigan simvolga kardinal son deyiladi.
Natural qatorning kardinal soni simvol bilan belgilanadi va alfa nol deb kabi o‘qiladi.
Ixtiyoriy chekli X to‘plam uchun o‘rinli bo‘lsin. U holda tabiiyki
taqqoslash o‘rinli. Natural qator barcha to‘plam ostilar to‘plami kardinal sonini bilan belgilanadi va teorema 1. ga ko‘ra .
Savol tug‘iladi: yoki ? Agar bo‘lsa, u holda natural qator quvvati uning to‘plam ostilart to‘plami quvvatidan kichik va biz quyidagi imkoniyatlarga ega bo‘lamiz.

1. 
   X dan P(X) ga o‘tib yanada quvvatliroq to‘plamlarni qurish usuliga egam bo‘lamiz.
   
2. 
   Quvvatlar shkalasini tuzib chiqish imkoniga ega bo‘lamiz, shu jumladan cheksiz to‘plamlar uchun ham.