Kesmada uzluksiz funksiyalarning xossalari

2. Chеgаrаlаngаn kеtmа-kеtliklаr.
Birоr {x_n} : x₁ , x₂ , x₃ , . . . , x_n , . . . kеtmа-kеtlik bеrilgаn bo’lsin.
1-tа‘rif : Аgаr shundаy o’zgаrmаs M sоn mаvjud bo’lsаki, {x_n} kеtmа-kеtlikning hаr bir hаdi shu sоndаn kаttа bo’lmаsа, ya’ni  nN uchun x_n  M tеngsizlik o’rinli bo’lsа, {х_n} yuqоridаn chеgаrаlаngаn kеtmа-kеtlik dеyilаdi.
2-tа‘rif: Аgаr shundаy o’zgаrmаs m sоn mаvjud bo’lsаki, ya’ni  nN uchun x_n m tеngsizlik o’rinli bo’lsа, {х_n} quyidаn chеgаrаlаngаn kеtmа-kеtlik dеyilаdi.
3-tа‘rif: Аgаr kеtmа-kеtlik hаm quyidаn, hаm yuqоridаn chеgаrаlаngаn bo’lsа, ya’ni shundаy o’zgаrmаs m vа M sоnlаr tоpilsаki,  nN uchun m x_nM tеngsizliklаr o’rinli bo’lsа, {х_n} chеgаrаlаngаn kеtmа-kеtlik dеyilаdi.
M i s о l l а r . 1. Ushbu x_n=1+ ;
1+1, 1+ , . . . kеtmа-kеtlik yuqоridаn chеgаrаlаngаn, chunki iхtiyoriy nN uchun x_n  2 (M=2) tеngsizlik o’rinli.
2. Ushbu :
1, kеtmа-kеtlik quyidаn chеgаrаlаngаn, chunki nN uchun x_n  - (m=- ) tеngsizlik o’rinli.


Ajoyib limitlar.
Reja
1. Funksiyaning limiti va uning asosiy xossalari.
2. Aniqmasliklar va ularni ochish.
3. Birinchi va ikkinchi ajoyib limitlar.

1. Funksiyaning limiti va uning asosiy xossalari
1. 1-ta’rif. funksiya nuqtaning biror atrofida aniqlangan bo’lib, istalgan son uchun shunday son mavjud bo’lsaki, tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha nuqtalar uchun tengsizlik bajarilsa, chekli son funksiyaning nuqtadagi limiti deb ataladi va quyidagicha yoziladi
(1)
Funksiya limitining ta’rifidan kelib chiqadiki cheksiz kichik bo’lganda ham cheksiz kichik bo’ladi.
2-ta’rif. funksiya, ning yetarlicha katta qiymatlarida aniqlangan bo’lib, istalgan son uchun shunday, mavjud bo’lsaki, tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha lar uchun tengsizlik bajarilsa, o’zgarmas son, funksiyaning dagi limiti deyiladi, va
(2)
bilan belgilanadi.
1-ta’rifda faqat yoki bo’lgan qiymatlar qaralsa, funksiyaning chap yoki o’ng limit tushunchasi kelib chiqadi va
, (3)
bilan begilanadi.
3-ta’rif. Limiti bo’lgan funksiyaga cheksiz kichik funksiya (ch. kich. f.) deyiladi.
4-ta’rif. Limiti yoki bo’lgan funksiyalarga cheksiz katta funksiya (ch. kat. f.) deyiladi va
(4)
bilan belgilanadi.
Limitning ta’rifidan kelib chiqadiki o’zgarmas miqdorning limiti o’ziga teng.