Кичик деформация. Кичик деформацияда нисбий узайиш коэффициентининг ва ортогонал моддий кесмалар орасидаги бурчакнинг ўзгариши

_{Маъруза №11
Кичик деформация.} Кичик деформацияда нисбий узайиш коэффициентининг ва ортогонал моддий кесмалар орасидаги бурчакнинг ўзгариши. _{Деформациянинг биргалик шартлари ва биргалик тенгламалари.}

Кичик деформация: нисбий узайиш коэффициентининг ва ортогонал моддий кесмалар орасидаги бурчакнинг ўзгариши.
Кўчиш векторини лагранж ўзгарувчиларида
(1) ва
Эйлер ўзгарувчиларида
(2)
деб белгиласак, Грин ва Альмансининг чекли деформация тензорлари

(3)

кўринишда ёзилади. Агар

(4) бўлса,

Грин ва Альмансининг чекли деформация тензорлари
чизиқли деформация тензорлари лардан тартибга фарқ қилади:
(5)
<sub>яъни Лагранжнинг ва Эйлернинг чексиз кичик деформациялар тензорларининг фарқи йўқ бўлади:
(6)

Кичик деформацияда ҳажм нисбий ўзгариши коэффициенти деформация тензори биринчи инвариантига тенглигини кўрган эдик
(7)

(8)
Демак кичик деформацияда ҳажм нисбий ўзгариш коэффициенти кўчиш вектори дивергенциясига тенг экан</sub>
(9)
_{Бу тенглик кўчиш вектори дивергенциясининг механик маъносини англатади.
Кичик деформацияда}
(10)
Бунда бошланғич ҳолатдаги моддий кесмаларнинг йўналтирувчи косинуслари.

Деформациядан аввал ортогонал бўлган моддий кесмалар орасидаги бурчакнинг ўзгариши.

(12)


(13)
(14) - деформациядан аввал ортогонал бўлган моддий кесмалар орасидаги бурчакнинг ўзгаришини ҳисоблаш формуласи.
<sub>Бунда лар моддий кесмаларнинг бошланғич ҳолатдаги йўналтирувчи косинуслари.

2.Деформациянинг биргалик шартлари ва биргалик тенгламалари ҳақида.</sub>
Деформацияни кўчиш вектори берилганда ҳисоблаш формуласи олинган
(15)
олинган эди. Ушбу формулада 6 та деформация тензори компоненталари 3та кўчиш вектори компоненталари орқали ҳисобланади. Лекин (15) ни 3та кўчиш вектори компоненталарини топиш учун тенгламалар системаси деб қарасак, системада тенгламалар сони 6 т а бўлади. Демак тенгламаларнинг ечими мавжуд бўлиши учун қандайдир қўшимча шарт бўлиши керак. Бу шарт-деформациянинг биргалик шарти символик тарзда қуйидагича ёзилади
(16)
Риман-Кристофеллнинг эгрилик тензори деб аталади.
Деформациянинг биргалик шарти бажарилиши кераклиги туташ муҳит механикаси нуқтаи-назаридан қуйидагича изоҳланади. Деформациягача, яъни бошланғич ҳолатда муҳитда ТММ си асосий фаразларидан бири – фазонинг Евклидлик шарти ўринли бўлса, деформациядан сўнг ҳам буни бажарилишини таъминловчи шарт деформациянинг биргалик шарти деб аталади.
Изоҳ1. Кўчиш вектори мавжудлиги фазонинг Евклид фазоси бўлишини таъминлайди ва деформациянинг биргалик шарти автоматик тарзда бажарилади.
Агар актуал ҳолатда декарт координата ситемаси олинган бўлса, деформациянинг биргалик тенгламаси ушбу
(17)
кўринишга эга бўлади. Бу ерда

(17) да тенгламалар сони 81та, лекин улардан фақат 6 таси эркли. Чунки бунда ва ҳ.
Агар деформациялар кичик бўлса, Сен-Венан тенгламалари деб аталувчи деформациянинг биргалик тенгламалари ихтиёрий к.системасида ушбу
(18)
кўринишга ва д.к.с. да
(19)
кўринишга эга.
Изоҳ2.Деформациянинг биргалик шартини ва биргалик тенгламасининг ошкор кўринишини олиш мустақил иш сифатида бажарилади.