Kirish 2 1-bob. Asosiy qisim 24

Kosinuslar teoremasi

Teorema. Uchburchak istalgan tomonining kvadrati qolgan ikki tomon kvadratlari yig‘indisidan, shu ikki tomon bilan ular orasidagi burchak kosinusining ikkilangan ko‘paytmasini ayirish natijasiga teng:
a2 = b2 + c2 – 2bc · cosA;
b2 = a2 + c2 – 2ac · cosB;
c2 = a2 + b2 – 2ab · cosC.


Isboti. Uchta holni qarab chiqamiz. 1- hol. a) ∠A o‘tkir, ya’ni ∠A < 90° va ∠B o‘tkir burchak bo‘lsin. Uchburchakning C uchidan CD ⊥ AB o‘tkazamiz (7.20- a chizma). U vaqtda AD = bc va DB = ac lar AC = b va BC = a tomonlarning AB = c tomonga proyeksiyasidan iborat bo‘ladi. CD = hc deb belgilaymiz. To‘g‘ri burchakli BCD va ACD lardan, Pifagor teoremasiga ko‘ra,

2.1 Uchburchakdagi metrik munosabatlar
1- teorema. Ixtiyoriy uchburchak ikki tomoni kvadratlari ayirmasi bu tomonlarning uchburchakning uchinchi tomoniga mos proyeksiyalari kvadratlari ayirmasiga teng. I s b o t i. ABC ning B uchidan BD ⊥ AC to‘g‘ri chiziq o‘tkazamiz (7.26- chizma). U vaqtda AB tomonning AC tomonga proyeksiyasi AD kesmadan, BC tomonning AC tomonga proyeksiyasi DC kesmadan iborat bo‘ladi. Demak, BC 2–AB 2 = = DC 2–AD 2 bo‘lishini isbotlash kerak bo‘ladi. Balandlik o‘tkazish natijasida hosil bo‘lgan to‘g‘ri burchakli ABD va DBC ni qaraymiz. Pifagor teoremasiga ko‘ra mos ravishda
= + ,
= + ,
munosabatlarni olamiz. Ularning ikkinchisidan birinchisini ayirib, talab qilingan
- = -
englikni olamiz. Teorema isbotlandi. 2- teorema (Stuart). Agar ABC uchburchakning BC tomonida ichki D nuqta olingan bo‘lsa,

tenglik bajariladi. Isboti. ABC ning A uchidan AK ⊥ BC to‘g‘ri chiziq o‘tkazamiz (7.27- chizma). K nuqta D va C nuqtalar orasida yotadi, deb faraz qilamiz. Ikkita to‘g‘ri burchakli AKC va ADK ni qaraymiz va Pifagor teoremasiga ko‘ra AKC dan ; dan munosabatlarni olamiz

ya’ni bundan talab qilingan tenglik olinadi. Stuart teoremasidan foydalanib, uchburchak medianasi, balandligi, bissektrisasi uzunliklarini hisoblaymiz.