Kirish Asosiy qism Koshining integral formulasi. Golomorf funksiyaning istalgan tartibli hosilaga EGA bo’lishi. Funksiyani Teylor qatoriga yoyish. Liuvil teoremasi. Yagonalik teoremas. Xulosa Foydalanilgan adabiyotlar

Liuvil teoremasi.
Agar bo’lib, u chegaralangan bo’lsa, funksiya da o’zgarmas bo’ladi.
Isbot. Golomorf funksiyaning xossasiga ko’ra, funksiya doirada ning darajalari bo’yicha Teylor qatoriga yoyiladi:
bunda .
Koshi tengsizligi (10) ga binoan bo’ladi. bo’lgani uchun bu tengsizlikda ni istalgancha katta qilib olish mumkin. Shuning uchun bo’lganda

bo’ladi. Ayni paytda (10) tengsizlikning chap tomoni ga boglik emas. Binobarin bo’lganda
( )
bo’ladi. Demak, da .
Morera teoremasi. Faraz qilaylik, funksiya bir bog’lamli sohada aniqlangan va uzluksiz bo’lib, esa shu sohada yotuvchi ixtiyoriy silliq (bo’lakli silliq) yopiq chiziq bo’lsin. Agar bo’lsa, u holda funksiya sohada golomorf bo’ladi.
Isbot. Teoremada keltirilgan shart bajarilganda funksiya sohada boshlang’ich funksiyaga ega bo’lib, funksiya da differensiallanuvchi, ya’ni golomorf bo’ladi.
3⁰-xossaning 1-natijasiga ko’ra ham sohada golomorf bo’ladi. Ayni paytda

bo’lganligi sababli bo’ladi.
Yagonalik teoremasi
Faraz qilaylik, f(z) va g(z) funksiyalar D sohada golomorf bo’lsin. Agar bu funksiyalar D sohaga tegishli va hech bo’lmaganda bitta limit nuqta ga ega bo’lgan E to’plamda bir-biriga teng

bo’lsa, u holda f(z) va g(z) funksiyalar D sohada aynan bir-biriga teng bo’ladi:

Isbot. Modomiki, nuqta E to’plamning limit nuqtasi ekan, unda E to’plamga tegishli turli nuqtalardan tuzilgan va ga intiluvchi da f(z)=g(z) bo’lgani uchun bo’ladi.
Endi f(z) va g(z) funksiyalarni nuqtaning

atrofida (bunda esa nuqtadan gacha bo’lgan masofa) Teylor qatoriga yoyamiz:

bo’lganligi sababli k ning biror qiymatidan boshlab keyingi lar

doiraga tegishli bo’ladi. Shuning uchun bo’lib, (1) dan
(2)
bo’lishi kelib chiqadi. Bu tenglikda da limitga o’tib
(3)
bo’lishini topamiz.
Bu (3) tenglikni e’tiborga olib (2) ni har ikkala tomonini ga bo’lsak, unda
(4)
hosil bo’ladi.
Keyingi tenglikda da limitga o’tib
(5)
bo’lishini topamiz. Bu (5) tenglikni e’tiborga olib, (4) ning har ikkala tomonini ga bo’lsak, unda

hosil bo’ladi. So’ng da limitga o’tib, bo’lishini topamiz.
Bu jarayoni davom ettira borib,

bo’lishini topamiz. Shunday qilib

lar uchun

bo’ladi. Demak, doirada f(z)=g(z) bo’ladi.
D sohada ixtiyoriy nuqtani olib, va nuqtalarni D soha yotuvchi uzluksiz L chiziq bilan birlashtiramiz. B doirada L egri chiziq qismida biror nuqtani olamiz. So’ng B da ga intiluvchi ketma-ketlikni qaraymiz. Ravshanki, bo’ladi.
Endi f(z) va g(z) funksiyalarni nuqtaning

atrofida (bunda bo’lib, - esa L va chiziqlar orasidagi masofa) Teylor qatoriga yoyamiz:

Yuqorida keltirilgan mulohazani takrorlab, va demak, doirada
f(z)=g(z)
bo’lishini topamiz.
nuqtani L chiziq bo’ylab nuqta tomon siljita borib va yana yuqorida keltirilgan mulohazalarni takrorlab

bo’lishini topamiz.
nuqta D sohaning ixtiyoriy nuqtasi bo’lganligi sababli, D sohada f(z)=g(z)
bo’ladi.