Kirish. Asosiy qism. Sanoqsiz to ‘plamlar

Haqiqiy sonlar to ‘plamining sanoqsizligi.

Ta’rif. segmentdagi nuqtalar to ‘plamiga ekvivalent bo ‘lga
to ‘plamlarni kontinuum quvvatli to ‘plamlar deyiladi.
Tabiiyki albatta kontinuum quvvatga ega bo ‘lgan harqanday to ‘plam sanoqsiz to ‘plamdir .
Endi konyinuum quvvatli to ‘plamlar haqida bir nevhta teoremalar
ko ‘rib chiqamiz.
Teorema2. Har qanday segmentdagi nuqtalar to ‘plami kontinuum quvvatli to ‘plamdir.
Isbot.Haqiqatan agar segmentning o ‘zgaruvchi elementini bilan , u holda almashtirish bu segmentlarni bir-biriga o‘zaro bir qiymatli aks ettiradi.Demak segmentdagi nuqtalar
to ‘plami kontinuum quvvatga ega .
Bu teorema va yuqordagi teoremadan bevosita quydagi natija kelib chiqadi.
Natija . Har qanday yoki yarim oraliqlar va oraliqdagi nuqtalar to ‘plami continuum quvvatga ega .
Teorema3.Kontinuum quvvatga ega ikki va to‘plamning yig ‘indisi ham continuum quvvatga ega .
Isbot. to ‘plam kontinuum quvvatga rga bo ‘lgani sababli segmentga ekvivalent va to ‘plam esa yarim oraliqqa ekvivalent ,natijada va to ‘plamlarning yig ‘indisi segmentga ekvivalent bo ‘ladi.

2 teoremaga asosan segment kontinuum quvvatga ega demak to ‘plam kontinuum quvvatga ega.
Shunday qilib kesma sanoqsiz bo ‘lgan to ‘plamga misol bo ‘ladi.
Endi kesmaga ekvivalent bo ‘lgan ya’ni continuum quvvatli
to ‘plamlarga misollar keltiramiz.
1-Misol. kesma va intervalning ekvivalent to ‘plamlar ekanligini isbotlang.
Isbot. Buning uchun dan sanoqli qism to’ plamni ajratamiz va undan foydalanib
to ‘plamni quramiz.Ushbu
, ,

Akslantirish to ‘plar o ‘rtasida biyektiv moslik o ‘rnatadi.