Kirish bob. Trapetsiyalar formulasi

Trapetsiyalar formulasi. Agar (38) va (39) taqribiy formulalarni qo`shib, so`ngra 2 ga bo`lsak, quyidagini olamiz:
(40)
Buni trapetsiyalar formulasi deb yurit



28- rasm.

(40) formulani geometrik jixatdan i- oraliqdagi egri chizikli trapetsiyani, asoslari chetki ordinatalardan va balandligi x_i=h dan iborat bo`lgan to`g`ri burchakli trapetsiya bilan almashtirish natijasida hosil qilish mumkinligiga o`quvchining o`zi ishonch hosil qiladi deb o`ylaymiz.

Simpson (parabolalar) formulasi. Bu yerda integrallash oralig`i [a;b] ni juft sondagi teng bo`laklarga bo`lingan holni qaraymiz, ya`ni n=2m, mN . Funksiya grafigini (x_2i-2;y_2i-2) , ( x­_2i-1; y_­2i-1) va (x_2i; y_2i) (i=1;2;…;m) nuqtalar orqali o`tuvchi parabola bo`lagi bilan almashtiramiz (29- rasm).
Endi ,
deb belgilab, [x_2i-2;x_2i] oraliqdagi yuqorida aytilgan parabola bo`lagining tenglamasini

ko`rinishda izlab, x ga ketma-ket x_2i-2, x_2i-1 va x_2i qiymatlarni berib:

sistemani olamiz. Undan

larni topamiz.
U holda




x

Nihoyat, bu ishni barcha oraliqlar uchun bajarib,

ya`ni
(41)
ga ega bo`lamiz. (41) simpson (parabolalar) formulasi deb yuritiladi.
44-misol. integralning qiymati n=10 bo`lganda taqribiy hisoblansin.
Yechish:
Qulaylik uchun quyidagi jadvalni tuzib olamiz.

i	xi		y0;y10	y1;y3;..;y9	y2;y4;…;y8
0	0	1	1,000
1	0,1	1.01		0.9901
2	0,2	1,04			0,9615
3	0,3	1,09		0,9174
4	0,4	1,16			0,8621
5	0,5	1,25		0,8000
6	0,6	1,36			0,7353
7	0,7	1,49		0,6711
8	0,8	1,64			0,6098
9	0,9	1,81		0,5525
10	1,0	2,0	0,5000
			1,5000=0	3,9311=1	3,1687=2

Xulosa
Endi yuqorida olingan har bir taqribiy formulalar yordamida integralning taqribiy qiymatlarini hisoblaylik.

1. 
   Chap to`g`ri to`rtburchaklar formulasi:
   

2. 
   O`ng to`g`ri to`rtburchaklar formulasi:
   

3. 
   Trapetsiyalar formulasi:
   

4. 
   Simpson formulasi:
   

Olingan natijalarni integralning aniq qiymati bilan taqqoslaylik:

Agar 3,1416 (0,0001 aniqlikda) deb olsak,

ga ega bo`lamiz.
Yuqorida olingan natijalardan ko`rinadiki, to`g`ri to`rtburchaklar formulasiga qaraganda trapetsiyalar formulasi aniqroq, Simpson formulasi esa yana ham aniqroq natija berar ekan. Bu tasodifiy hol bo`lmay quyidagi teorema o`rinlidir.
4-teorema. Agar f(x) funksiya [a;b] kesmada kerakli tartibgacha (masalan, Simpson formulasi uchun to`rtinchi tartibgacha) uzluksiz hosilaga ega bo`lsa, taqribiy integrallash formulalari xatoligi R(h) uchun quyidagi baholar o`rinlidir:
1)to`g`ri to`rtburchaklar formulasi uchun
2)trapetsiyalar formulasi uchun
3)Simpson formulasi uchun
bu yerda .
Eslatma. Bu teoremadan ko`rinadiki, Simpson formulasi uchinchi darajalikgacha, trapetsiyalar formulasi birinchi darajalikgacha, to`g`ri to`rtburchaklar formulasi esa nolinchi darajalik (ya`ni o`zgarmalar uchun) ko`phadlar integrali uchun aniq natija beradi.
Yuqoridagi masalani Maple7 dasturidagi yechimini beramiz:
1) to`g`ri to`rtburchaklar formulasida ostki to`rtburchaklar bo`yicha
> restart;
> with(Student[Calculus1]):
RiemannSum(1/(1+x^2), x=0..1 , method = left);evalf(%);
0.8099814972
> RiemannSum(1/(1+x^2), x=0..1 ,output = plot);



2) to`g`ri to`rtburchaklar formulasida ystki to`rtburchaklar bo`yicha
> with(Student[Calculus1]):
RiemannSum(1/(1+x^2),x=0..1,method=right);evalf(%);
0.7599814972
> RiemannSum(1/(1+x^2),x=0..1,method=right,thickness=2,output= plot);

3) to`g`ri to`rtburchaklar formulasida orta to`rtburchaklar bo`yicha
> with(Student[Calculus1]):
RiemannSum(1/(1+x^2),x=0..1, method = midpoint);evalf(%);
0.7856064962
> RiemannSum(1/(1+x^2),x=0..1,method=midpoint,thickness=2, output= plot);



4) trapetsiyalar formulasi bo`yicha
> with(Student[Calculus1]): ApproximateInt(1/(1+x^2),x=0..1,method=trapezoid);evalf(%);
0.7849814972
> ApproximateInt(1/(1+x^2), x=0..1 , method = trapezoid, output = plot);



5) Simpson formulasi bo`yicha
> with(Student[Calculus1]):
ApproximateInt(1/(1+x^2),x=0..1,method=simpson);evalf(%);
0.7853981632
> ApproximateInt(1/(1+x^2),x=0..1,method=simpson,output=plot);

Adabiyot:

1. 
   T. Jo`rayev va boshqalar. Oliy matematika asoslari. T. «O`zbekiston», 1995 y. I,II qism.
   
2. 
   Y. U. Soatov. Oliy matematika. T. «O`qituvchi», 1994 y. I qism.
   
3. 
   SH.I. Tojiyev. Oliy matematikadan masalalar yechish. T.,”O`zbekiston”, 2002 y
   
4. 
   A.G. Kurosh. Kurs visshey algebri. M. «Nauka». 1971 g.
   
5. 
   Fixtengols G.M. Differensial va integral hisob kursi. I tom. T.1951y.
   
6. 
   Uvarenkov I.M., Maler M.Z. Kurs matematicheskogo analiza. I tom. M. 1966 g.
   
7. 
   Frolov S.V., Shostak R.Y. Kurs visshey matematike. I tom. M. 1973 g.
   
8. 
   L.S. Pontryagin. Obiknovenniye differensialniye uravneniya. M., «Nauka», 1970g.
   
9. 
   N.S Piskunov. Differensialniye i integralnoye ischisleniye dlya
   
10. 
    VTUZ ov. M. Nauka, v 2 x chastyax, 1985 g.
    
11. 
    I.A Maron. Differensialniye i integralnoye ischisleniye v primerax i zadachax(funksii odnoy peremennoy) dlya VTUZ ov. M. Nauka, 1970 g.
    
12. 
    E.F. Fayziboyev, N.M. Sirmirakis. Integral hisob kursidan amaliy mashg`ulotlar. T. “O`qituvchi”, 1982 yil.
    
13. 
    M.J.Mamajonov, A.Abdurazoqov va boshqalar. Oliy matematikadan ma`ruzalar to`plami. FarPi., 2008 y