Kirish differensial tenglamalar

Integrallovchi ko’paytuvchi

Bizga

M (x, y)dx N(x, y)dy 0

(1)

tenglama berilgan bo’lsin va uning chap tomoni biror funksiyali to’la

differensiyali bo’lmasin. U holda, ba’zan, shunday

(x, y)

funksiyani tanlab

olish mumkin bo’ladiki, tenglamaning barcha hadlarini shu ko’paytuvchiga ko’paytirilganda tenglamaning chap tomoni biror funksiyani to’la differensialini beradi. Shu usul bilan topilgan tenglamaning umumiy yechimi dastlabki

tenglamani umumiy yechimi bilan bir xil bo’ladi.

(x, y)

funksiya (1)

tenglamaning integrallovchi ko’paytiruvchisi deyiladi. Integrallovchi

ko’paytuvchini topish uchun hozircha bizga noma’lum bo’lgan har ikkala tomonini ko’paytiramiz:

(x, y) ga (1)ni

Mdx Ndy 0 . (2)

2. 
   tenglama to’la differensialli tenglama bo’lishi uchun quyidagi tenglik bajarilishi zarur va yetarlidir
   

(M ) _(N )

, (3)

ya’ni

y x

_M

_M _N _N 

yoki

y x x x

_M 

_N 

^N



_

M ^

 _. (4)

y x

_x

y _

Bu tenglamani har ikkala tomonini ga bo’lib,

_M ln _N ln _N _M
(5)

y x

x y

tenglik hosil qilamiz. (5) tenglamani qanoatlantiruvchi har qanday

(x, y)

funksiya (1) tenglamaning integrallovchi ko’paytuvchisi bo’ladi. (5) tenglama ikkita x va y o’zgaruvchilarga bog’liq bo’lgan noma’lum funksiyaga nisbatan xususiy hosilali tenglamadir. Ma’lum shartlar bajarilganda bu tenglamani yechimlari cheksiz ko’p ekanini va (1) tenglamaning integrallovchi ko’paytuvchisi bor ekanligini isbotlaymiz. Ammo, umumiy holda (5)

tenglamaning integralovchi ko’paytuvchisi

(x, y) ni topish (1) tenglamani

integrallashga nisbatan qiyinroq. Faqat ba’zi xususiy hollardagina

(x, y)

topish

mumkin. Masalan, (1) tenglamaning integrallovchi ko’paytuvchisi faqat y ga

N _M

bog’liq bo’lsin. Bu holda

ln _0

x

va ni topish uchun

ln _

y

x y

M

oddiy

differensial tenglama hosil bo’ladi: bunda (bitta kvadratura bilan)

N _M

ln 

aniqlanib

undan topiladi. Bunday ish ko’rish

x y

M

ifoda x ga bog’liq bo’lmagan

N _M

holdagina qo’llaniladi. Shunga o’xshash, agar

x y

N

ifoda y ga bog’liq

bo’lmasdan, faqat x ga bog’liq bo’lsa, u holda faqat x ga bog’liq bo’lmagani integrallovchi ko’paytuvchi oson topiladi.