Kirish differensial tenglamalar

KIRISH

Differensial tenglamalar — nomaʼlum funksiyalar, ularning turli tartibli hosilalari va erkli oʻzgaruvchilar ishtirok etgan tenglamalar. Bu tenglamalarda nomaʼlum funksiya i orqali belgilangan boʻlib, birinchi ikkitasida i bitta erkli oʻzgaruvchi t ga, keyingilarida esa mos ravishda x, t va x, u, z erkli oʻzgaruvchilarga bogʻliqdir. Differensial tenglama nazariyasi 17-asr oxirida differensial va integral hisobning paydo boʻlishi bilan bir vaqtda rivojlana boshlagan. Differensial tenglama matematikada, ayniqsa, uning tatbiklarida juda katta ahamiyatga ega. Fizika, mexanika, iqtisodiyot, texnika va boshqa sohalarning turli masalalarini tekshirish differensial tenglamani yechishga olib keladi.

Xususiy hosilali differensial tenglama Bu tenglamalarning oddiy differensial tenglamadan farqli muhim xususiyati shundan iboratki, ularning barcha yechimlari toʻplami, yaʼni "umumiy yechimi" ixtiyoriy oʻzgarmaslarga emas, balki ixtiyoriy funksiyalarga bogʻliq boʻladi; umuman, bu ixtiyoriy funksiyalarning soni differensial tenglamaning tartibiga teng; ularning erkli oʻzgaruvchilari soni esa izlanayotgan yechim oʻzgaruvchilari sonidan bitta kam boʻladi. Bir nomaʼlumli 1-tartibli xususiy hosilali Differensial tenglamani yechish oddiy differensial tenglama sistemasini yechishga olib keladi. Tartibi birdan yuqori boʻlgan xususiy hosilali differensial tenglama nazariyasida Koshi masalasi bilan bir katorda turli chegaraviy masalalar tekshiriladi.

1. CHIZIQLI DIFFERENSIAL TENGLAMALAR

1.1Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar

MAVZU: TO’LA DIFFERENSIALLI TENGLAMALAR. LAGRANJ VA KLERO TENGLAMALARI

1. 
   Bernulli tenglamasi.
   
2. 
   To’la differensialli tenglama.
   

Mavzu rejasi:

3. 
   Klero va Lagranj tenglamalari.
   

1. To’la differensialli tenglama

Ta’rif: Agar
M (x, y)dx N(x, y) 0
(1)

tenglamada bular uchun

M (x, y)

va N (x, y)

funksiyalar uzluksiz differensiallanuvchi bo’lib,

M _N

y x

(2)

munosibat bajarilsa (1) tenglama to’la differensialli tenglama deyiladi. Bunda

M _va N

N x

funksiyalar biror sohada uzluksiz funksiyalardir. Agar (1)

tenglamaning chap tomoni to’la differensial bo’lsa, u holda (2) shartning bajarilishi va aksiga (2) shart bajarilsa (1) tenglamaning chap tomoni to’la differensial bo’lsa, u holda (2) shartning bajarilishi va aksiga (2) shart bajarilsa,

1. 
   tenglamaning chap tomoni biror
   

u(x, y)

funksiyaning to’la bo’lishini

isbotlaymiz, ya’ni (1) tenglamani ko’rinishi

du(x, y) 0
(3)

bo’ladi, demak uning umumiy integrali

u(x, y) C

bo’ladi.

Dastlab, (1) tenglamaning chap tomonini biror

u(x, y)

funksiyaning to’la

differensiyali deb faraz qilamiz, ya’ni

M (x, y)dx N (x, y)dy du ^u dx ^u dy .

U holda

(4)
M ^u ,

x

x y
_{N }u

y

ni birinchisini y bo’yicha, ikkinchisini x bo’yicha xususiy hosilalarini topamiz.

M ²u

 ,

y xy

N ²



x yx

Ikkinchi tartibli xususiy hosilalarini uzluksiz deb faraz qilsak,

M _N

y x

bo’ladi,

ya’ni (2) tenglik (1) tenglamaning chap tomoni biror

u(x, y)

funksiyaning to’la

differensiali bo’lishining zaruriy shartidan biridir. Bu shartning yetarli shart bo’lishi, ya’ni (2) tenglik bajarilganda (1) tenglamaning chap tomoni biror

u(x, y)

funksiyaning to’la differensiyali bo’lishini ko’rsatamiz.

x

^u M (x, y)

x

munosabatdan

u _M (x, y)dx ( y) ni topamiz, bunda

x₀

x₀ -mavjud bo’lgan

sohadagi ixtiyoriy nuqtaning abssissasi. x bo’yicha integrallashda y ni o’zgarmas deb hisoblaymiz va shuning uchun integrallashda hosil bo’lgan ixtiyoriy o’zgarmas y ga bog’liq bo’lishi mumkin. y ni (4) munosabatlardan ikkinchisi bajariladigan qilib tanlab olamiz. Buning uchun keyingi tenglikni

ikkala tomonini y bo’yicha differensiallab natijani

M (x, y) ga tenglasak:

u ^x M

M N

y _x


 dx ( y) N (x, y) , ammo,

y

0

^x N



y x
x

bo’lgani uchun quyidagini

x
yozamiz _{}dx ^( y) N (x, y)

x₀

dan

N (x, y)

x₀

^( y) N (x, y)

yoki

N(x, y) N(x₀ , y) ^( y) N(x, y)

x

Demak,

^( y) N(x₀ , y₀ )

x

yoki
x

( y) _N (x, y)dy C₁ . Shunday qilib,

x₀

u(x, y)

funksiya

u(x, y) _M (x, y)dx _N (x, y)dy C₁

ko’rinishda bo’ladi. Bunda

P(x₀ , y₀ )

x₀ x₀

shunday nuqtani, uning biror atrofida (1) tenglamaning yechimi mavjud. Bu ifodani ixtiyoriy C o’zgarmas miqdorda tanlab, (1) tenglamaning umumiy integralini hosil qilamiz.

x x

_M (x, y)dx _N (x₀ , y)dy C

x₀ x₀

Xuddi shunga o’xshash

x x

_M (x, y₀ )dx _N (x, y)dy C

(6)

x₀ x₀

bo’ladi.