Kirish kurs ishi mavzusining dolzarbligi va zaruriyati

2.2-§. Ikki karrali integrallar uchun Darbu yig‘indilari
Aytaylik funksiya ( ) sohada berilgan va chegaralangan bo‘lsin. sohaning biror bo‘linishini karaylik. Bu bo‘linishning harbir kvadratlanuvchi bo‘lagida funksiya chegaralangan bo‘lib, uning aniq quyi va aniq yuqori chegaralari

mavjud bo‘ladi.
4-ta’rif. Ushbu

yig‘indilar, mosravishda, Darbuning quyi hamda yuqori yig‘indilari deb ataladi.

Ikkikarrali integralning boshqacha ta’rifi
sohaning harbir bo‘linishiga nisbatan to‘plamlar chegaralangan.
5-ta’rif. to‘plamlarning aniq yuqori(aniqquyi) chegarasi, ya’ni miqdorlar, mosravishda, funksiyaning sohadagi quyi ikki karral i(yuqoriikkikarali) integrali debataladi va u

Kabi belgilanadi.
6-ta’rif. Agar funksiyaning sohada quyi hamda yuqori ikkikarrali integrallari bir-biriga teng bo‘lsa, y holda funksiya sohada integrallanuvchi, ularning umumiy qiymati funksiyaning sohadagi ikkikarrali integrali (Rimanintegrali) deyiladi va

Kabi belgilanadi.
Agar bo‘lsa,y holda funksiya sohadaintegrallanmaydideyiladi.
Integrallanuvchi funksiyalarning sinflari
funksiya chegaralangan yopiq sohada berilgan.
2-teorema. Agar funksiya da uzluksiz bo‘lsa, u holda u shu sohada integrallanuvchi bo‘ladi.
Isboti. SHartga ko‘ra funksiya sohada uzluksiz bo‘lgani uchun u shu sohada tekis uzluksiz bo‘ladi. U holda Kantor teoremasidan kelib chiqqan natijaga ko‘ra (..........), son olinganda ham, shunday son topiladiki, sohaning diametri bo‘lgan ixtiyoriy bo‘linishi olinganda ham , bu bo‘linishlarning har bir bo‘lagida funksiyaning tebranishi bo‘ladi. sohaning diametri bo‘lgan ixtiyoriy bo‘linishiga mos kelgan Darbu yig‘indilari ayirmasini qaraylik:
.
Bundan bo‘lishi kelib chiqadi. Demak, 1-teoremaga asosan uzluksiz funksiya sohada integrallanuvchi bo‘ladi. Teorema isbot bo‘ldi.
1-lemma. sohada nol yuzga ega bo‘lgan chiziq berilgan bo‘lsin. U holda son olinganda ham, shunday son topiladiki, sohaning diametri bo‘lgan bo‘linishi olinganda, bu bo‘linishning chiziq bilan umumiy nuqtaga ega bo‘lgan bo‘laklari yuzlarining yig‘indisi dan kichik bo‘ladi.
Isboti. SHartga ko‘ra chiziq nol yuzga bo‘lgani uchun uni yuzi dan kichik bo‘lgan ko‘pburchak bilan o‘rash mumkin. chiziq bilan ko‘pburchak chegarasi umumiy nuqtaga ega emas deb, ular orasidagi masofani qaraymiz. Bu chiziqlar orasidagi masofa o‘zining eng kichik qiymati ga erishadi. Haqiqatdan ham yuqoridagi ko‘rsatilgan chiziqlar o‘zlarining parametrik tenglamalari bilan berilgan bo‘lsin:


Bunda funksiyalarning har biri argumentlarining uzluksiz funksiyalari. U holda bu egri chiziqlar ixtiyoriy nuqtalari orasidagi masofa
to‘rt burchakda
ning uzluksiz funksiyasi bo‘ladi. SHuning uchun u yuqoridagi ko‘rsatilgan to‘rtburchakda o‘zining eng kichik qiymatiga erishadi. va chiziqlar o‘zaro kesishmaganligi
uchun, ular orasidagi eng kichik masofa bo‘ladi.
Agar sohaning diametri bo‘lgan bo‘linishi olinganda, bu
bo‘linishning chiziq bilan umumiy nuqtaga ega bo‘lgan bo‘laklari butunlay ko‘pburchakning ichida joylashadi. Demak, bunday bo‘laklar yuzlarning yig‘indisi berilgan dan kichik bo‘ladi. Lemma isbot bo‘ldi.(6-rasm)

6-rasm