Komleks sonlar ustida amallar

KOMPLEKS SONLAR USTIDA AMALLAR

Kompleks son deb haqiqiy sonlarning tartiblangan juftligiga aytiladi. (a, o) kompleks sonni haqiqiy sondan farqlamaydilar. Barcha kompleks sonlar to’plamini S orqali belgilanadi.

(0,1) kompleks soni i harfi orqali belgilash va uni mavhum bir deb atash qabul qilingan. i² + 1 = 0 bo’lishini ko’rsatish qiyin emas, ya’ni i soni x² + 1 = 0 tenglamaning ildizi bo’ladi.

Har qanday z kompleks sonni a + bi algebraik shaklda yozish mumkin. Agar z = a + bi bo’lsa, a son z kompleks sonning haqiqiy qismi deyiladi va Re z orqali belgilanadi, b son esa z kompleks sonning mavhum qismi deyiladi va Im z orqali belgilanadi. z = a - bi kompleks son, z = a + bi kompleks sonning kompleks qo’shmasi deyiladi.

Agar a = c, b = d bo’lsa a + bi va c + di kompleks sonlar teng deyiladi.

Algebraik shakldagi kompleks sonlar ustida arifmetik amallar quyidagi tengliklar yordamida aniqlanadi:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,

(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i,

(a + bi) (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i,

• Agar kompleks sonlarning yig’indisi, ayirmasi, ko’paytmasi va bo’linmasidagi barcha sonlarni ularning kompleks-qo’shmasiga almashtirilsa, natija ham o’zining qo’shmasiga almashadi:
• Kompleks sonni darajaga ko’tarish amali quyidagicha aniqlanadi:

Boshqacha aytganda, agar i² = -1 ekanligini hisobga olinsa, kompleks sonlar ustida barcha arifmetik amallar haqiqiy sonlar ustidagi xuddi shunday amallar kabi bajaradi

Boshqacha aytganda, agar i² = -1 ekanligini hisobga olinsa, kompleks sonlar ustida barcha arifmetik amallar haqiqiy sonlar ustidagi xuddi shunday amallar kabi bajaradi

Kompleks koeffisiyentli istagan kvadrat tenglamani yechish uchun, avvalo kompleks sonning kvadrat ildizini topa olish kerak. Ta’rifga ko’ra x+yi son a+bi sonning kvadrat ildizi bo’lishi:

tenglikning bajarilishiga teng kuchli.
(*) tenglik quyidagi formulalar yordamida topiladigan ikkita har xil yechimlarga ega bo’ladi:

Kompleks sonning butun ko’rsatkichli darajasi quyidagi xossalarga ega:

• Kompleks sonning butun ko’rsatkichli darajasi quyidagi xossalarga ega:
• i ning darajasini topish.

Kompleks sonlarni qoʻshish

Kompleks sonlarni qo’shishda haqiqiy va mavhum qismlarni qo’shamiz

(3+4i)+(5-2i)=(3+8)+(4-2)i=11+2i;

(-3+2i)+(5-4i)=(-3+5)+(2-4)i=2-2i;

(7-i)+(7+i)=(7+7)+(-i+i)=10;

Kompleks sonlarni ayirish

Kompleks sonlarni ayirishda haqiqiy qismdan va mavhum qismni
ayiramiz

(-2+4i)-(-5+3i)=(-2+5)-(4+3)i=3+i;

75i-(70+15i)=-70+75i-15i=-70+60i;
- == - =

- = = -

Kompleks sonlarni ko’paytirish

Kompleks sonlarni koʻpaytirganda qavslarini ochish
 ikkihadlarni ko’paytirish kabi ish koʻramiz
Muntazam ikkihadlarni koʻpaytirishdan farqli oʻlaroq,
kompleks sonlar uchun i²=−1 boʻlishini hisobga olamiz.
(-2+3i)(1-5i)= -2+3i+10i-15i²=13+13i;
-i)i)= -i +i - i² =

Kompleks sonlarni bo’lish

==== - i;

Kompleks sonlarda darajalarni hisoblash

+++==0;

Kompleks sonning tekislikdagi tasviri

• Har qanday kompleks son z=a+=bi ni Oxy tekislikda kordinatalari a va b bo’lgan z(a;b) nuqta shaklida tasvirlash mumkin va aksincha, Oxy tekislikdagi har qanday z(a;b) nuqtani z=a+bi kompleks sonning tekislikdagi geometrik tasviri deb qarash mumkin. Kompleks sonlarni tekislikda tasvirlaganda Oy o’q mavhum, Ox o’q esa haqiqiy o’q deb olinadi

x
y
Imz
z(a,b)
a
b
Rez
r=