Kompleks o‘zgaruvchili funksiyaning hosilasi

Kompleks o‘zgaruvchili funksiyaning hosilasi.

Kompleks tekislikdagi biror E sohada aniqlangan bir qiymatli w=f(z) funksiya berilgan bo‘lsin. z₀E nuqta olib, unga shunday z orttirma beraylikki, natijada z= z₀+z ham E to‘plamga tegishli bo‘lsin. U holda w=f(z) funksiyaning orttirmasi w=f(z₀+z)-f(z₀) bo‘ladi.

Agar z ni har qanday yo‘l (qonun) bilan nolga yaqinlashtirilganda ham nisbat faqat birgina aniq limitga intilsa, w=f(z) funksiya z₀ nuqtada differensiallanuvchi, limit esa f(z) funksiyaning z₀ nuqtadagi hosilasi deyiladi va w’(z₀), f’(z₀), , ko‘rinishda belgilanadi. Demak, ta’rif bo‘yicha
f’(z₀)= .
Teorema. Biror E sohada aniqlangan f(z)=u(x,y)+iv(x,y) funksiyaning, shu sohaga tegishli z₀=x₀+iy₀ nuqtada differensiallanuvchi bo‘lishi uchun u(x,y) va v(x,y) funksiyalarning (x₀,y₀) nuqtada differensiallanuvchi bo‘lishlari, shuningdek
(C-R)
shartlarning bajarilishi zarur va etarlidir.
(C-R) shart Koshi-Riman shartlari deyiladi.
Agar f(z) funksiya zE nuqtada va uning biror atrofida differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda bu funksiya z nuqtada analitik funksiya deyiladi. Agar f(z) funksiya E sohaning har bir nuqtasida differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda f(z) funksiya E sohada analitik deyiladi. Har qanday analitik funksiya uchun quyidagi formula o‘rinli:
f’(z)= = = = . (9)
№36. f(z)=z²+1 funksiyaning kompleks tekislikda analitik ekanligini ko‘rsating.
Yechish. z²+1=(x+iy)²+1=x²-y²+1+i2xy bo‘lganligidan, u(x,y)=x²-y²+1, v(x,y)=2xy. Bu funksiyalar x va y haqiqiy o‘zgaruvchining funksiyalari sifatida xOy tekislikning ixtiyoriy (x,y) nuqtasida differensiallanuvchi:

va (C-R) shartlarini qanoatlantiradi. Demak, f(z)=z²+1 funksiya butun kompleks tekislikda analitik bo‘ladi va (9) formulaga asosan
f’(z)=(z²+1)’=( x²-y²+1)x’ +i(2xy)x’ =2x+i2y=2(x+iy)=2z
bo‘ladi.
№37. w=z funksiya biror nuqtada analitik bo‘ladimi?
Yechish: z =x²+y² bo‘lganligi sababli u(x,y)=x²+y² va v(x,y)0 o‘rinli. Bu holda Koshi-Riman shartlari quyidagicha bo‘ladi:

va faqat (0,0) nuqtadagina bajariladi. Demak, w=z funksiya faqat z=0 nuqtadagina differensiallanuvchi bo‘lib, hech yerda analitik emas. Funksiyaning z=0 nuqtadagi hosilasi 0 ga teng.
№38. w=x²+y²+ixy² ning analitik yoki analitik emasligi tekshirilsin.
Yechish: w funksiyaning haqiqiy va mavhum qismlari mos ravishda u(x,y)=x²+y² va v(x,y)=xy² ga teng va

o‘rinli. Bulardan ko‘rinadiki, (C-R) shartlarining bajarilishi uchun x=0, y=0 bo‘lishi kerak. Demak, w funksiya (0,0) nuqtadagina differensiallanuvchi, boshqa nuqtalarda hosilasi yo‘q, ya’ni berilgan funksiya analitik emas.
Agar E sohaning har bir nuqtasida
(10)
tenglik bajarilsa, F=F(x,y) funksiya E sohada garmonik funksiya deyiladi.
(10) tenglama Laplas tenglamasi deyiladi.
№39. u(x,y)=x²-y² garmonik funksiya bo‘ladimi?
Yechish: Berilgan funksiyaning Laplas tenglamasini qanoatlantirishini tekshiramiz. , va . Demak, u(x,y)= x²-y² funksiya garmonik funksiya ekan.
Analitik funksiyaning haqiqiy va mavhum qismlari har doim garmonik funksiya bo‘ladi.
Biror E sohada garmonik bo‘lgan ikkita u(x,y) va v(x,y) funksiyalar yordamida tuzilgan f(z)=u(x,y)+iv(x,y) funksiya har doim ham analitik funksiya bo‘lavermaydi. Bu funksiya faqat u(x,y) hamda v(x,y) funksiyalar Koshi-Riman shartlarini qanoatlantirgandagina analitik funksiya bo‘ladi. Bu holda u(x,y) va v(x,y) funksiyalar qo‘shma garmonik funksiyalar deyiladi. E sohada garmonik bo‘lgan har qanday funksiyaning qo‘shma garmonik funksiyasi mavjud bo‘ladi, boshqacha aytganda biror sohada garmonik bo‘lgan ixtiyoriy u(x,y) funksiya uchun haqiqiy (mavhum) qismi u(x,y) ga teng bo‘lgan analitik funksiyani tiklash mumkin.
Berilgan z₀ nuqtaning biror atrofida analitik bo‘lgan f(z) funksiyani uning haqiqiy qismi u(x,y) ga ko‘ra