Kompleks o‘zgaruvchili funksiyaning hosilasi

f(z)=2u - , (11)
mavhum qismi v(x,y) ga ko‘ra
f(z)=2iv + , (12)
formulalar orqali tiklash mumkin, bu yerda son S₀=f(z₀) ga qo‘shma kompleks son.
№40. Haqiqiy qismi Ref(z)=x²+y² bo‘lgan analitik funksiya mavjudmi?
Yechish: Haqiqiy qismi Ref(z)=x²+y² bo‘lgan analitik funksiya mavjud bo‘lishi uchun Ref(z)=x²+y² funksiya garmonik funksiya bo‘lishi shart. Lekin x²+y² funksiya garmonik funksiya emas. Demak, haqiqiy qismi Ref(z)=x²+y² bo‘lgan analitik funksiya mavjud emas.
№41. Mavhum qismi v(x,y)=4x+2xy va f(-i)=2 bo‘lgan f(z) analitik funksiyani tiklang.
Yechish: 1-usul. (12) formuladan foydalanamiz. Bizning misolda v(x,y)=4x+2xy, z₀=-i, C=2, demak
f(z)=2i =4iz-4+z²+1+2=4iz+z²-1.
2-usul. v(x,y) va u(x,y) funksiyalarning qo‘shma garmonik funksiyalar ekanligidan foydalanib, izlanayotgan funksiyaning haqiqiy qismi u(x,y) funksiyani topamiz. Koshi-Rimanning birinchi shartidan = =2x, bundan u(x,y)= dx+(y)=x²+(y) ga ega bo‘lamiz. Endi noma’lum (y) funksiyani topish uchun KoshiRimanning ikkinchi =- shartidan foydalanamiz.
=(4x+2xu)x’=4+2y, = (x2+(y))y’=’(y).
Yuqoridagi shartdan ’(y)=-4-2y, bundan (y)= +S=-4y-y²+C.
Demak, u(x,y)=x²+(y)=x²-4y-y²+C va f(z)=u(x,y)+iv(x,y)=x²-4y-y²+C+i(4x+2xy)=(x+iy)²+i4(x+iy)+C=z²+4iz+C.
S o‘zgarmasni f(-i)=2 shartdan foydalanib topamiz.
2=(-i)²+4i(-i)+C, C=2-3=-1. Natijada, f(z)= z²+4iz-1 funksiyaga ega bo‘lamiz.

№42. Koshi-Riman shartlaridan foydalanib, quyidagi funksiyalardan qaysilari kamida bitta nuqtada analitik ekanligini aniqlang:

a) w=z² ; b) w= ; c) w= ; d) w=zRez;
e) w=cosx+isiny; f) w=x²+iy²; g) w=yx+i(x²-y²)
№43. Quyidagi funksiyalar garmonik funksiya bo‘ladimi?
a) 3xy+1; b) x²+y³; c) ; d) xy(x-y).
№44. a) Imf(z)= x²-2y²; b) Ref(z)=excosy; c) Imf(z)=xy² bo‘lgan f(z) analitik funksiya mavjudmi?
№45. Berilgan haqiqiy yoki mavhum qismiga ko‘ra f(z)=u(x,y)+iv(x,y) analitik funksiyani tiklang:
a) v(x,y)=x³-3xy²; b) v(x,y)=3x²y-y³, f(0)=0;
c) u(x,y)=x²-y²+2x, f(i)=2i-1; d) u(x,y)= , f(1)=0.