Kompleks sanlar ústinde ámeller
Download 18.34 Kb.
|
kompleks sanl
|
Kompleks sanlar Reje:
Kompleks sanlar Kompleks sanlar ústinde ámeller Kompleks sanlardıń geometrik kórinisi Paydalanilģan ádebiyatlar 1.Kompleks sanlar Kompleks san dep (1) ańlatpaǵa aytıladı, bul jerde a hám b haqıyqıy sanlar, i - abstrakt birlik bul teńlikler menen anıqlanadı : yamasa (2) a- kompleks san z dıń haqıyqıy bólegi, ib - abstrakt bólegi dep ataladı. Olar bunday belgilenedi: a=Re z, b=Imz. Eger a=0 bolsa, 0+ib=ib sap abstrakt san dep ataladı ; b=0 eger bolsa, haqıyqıy san payda boladı : a+I*0=a. Tek abstrakt bóleginiń belgisi menen parıq etetuǵın eki kompleks san: z=a+ib hám z=a-ib bir-birine qospa dep ataladı.kvadrat teńlemelerdi sheshiwde geyde túbir astında keri san payda bolıp qaladı, yaǵnıy kvadrat teńlemediń diskriminanti keri sandan ibarat boladı: Bunda túbir astından haqıyqıy sandı shıǵarıw múmkin emes, ol halda berilgen kvadrat teńleme túbirge iye emes. Sol waqıtqa shekem kvadrat túbir shıǵarıw tek ǵana oń haqıyqıy sanlar ushın anıqlanǵanlıǵı uqtirip kelingen. Keri haqıyqıy sanlardan túbir shıǵarıw mániske iye emes, yaǵnıy keri haqıyqıy sannıń kvadrat túbiri haqıyqıy san bolmawi múmkin. Diskriminanti keri sandan ibarat bolǵan kvadrat teńlemeni sheshiw ushın sanlar túsinigin keńeytiw kerek boladı. Bunday halda haqıyqıy sanlar kompleksine kvadratı -1 ge teń bolǵan jańa i sanın kirgiziw maqsetke muvoffiq boladı. Bul sannı abstrakt birlik dep ataw kabo'l etilgen. Ol halda tómendegi teńlik orınlı boladı : i2=-1 i sanı bi kórinistegi kóbeytpe hám a+ ib jıyındın kirgiziw múmkinshiligin beredi. Tariyp: a+bi kórinistegi ańlatpaǵa kompleks san dep ataladı. Bunda a hám b qálegen haqıyqıy sanlar, i- abstrakt birlik. a sanı a+bi kompleks sannıń haqıyqıy bólegi, bi kóbeytpe bolsa abstrakt bólegi dep ataladı, b sanı abstrakt bólektiń koefficienti dep ataladı. Mısalı, 5+2 i kompleks san ushın 5 sanı haqıyqıy bólim, 2 i bolsa abstrakt bólim boladı, onıń koefficienti 2 den ibarat ; 0+7 i sannıń haqıyqıy bólegi 0, abstrakt bólegi 7 i, abstrakt bólektiń koefficienti 7 den ibarat ; 6 -0 i sannıń haqıyqıy bólegi 6, abstrakt bólegi 0 i, abstrakt bólektiń koefficienti 0 den ibarat esaplanadi. Kompleks sanlar kiritilgenson algebra, teoriyalıq fizikaning gidrodinamika, elementar bólekler teoriyası hám taǵı basqalar daǵı pikirler hám de túsinikler ápiwayılasdı. Tariyp: Eki kompleks sannıń haqıyqıy bólimleri teń hám abstrakt bólimleriniń koefficientleri de teń bolsa, bul sanlar óz-ara teń dep ataladı, yaǵnıy a=s hám v=d bolsa, tómendegi teńlik orınlı boladı : a+bi=s+di Eki kompleks sanlar arasında «katta» yamasa «kichik» munasábetlerdi anıqlap bolmaydı. Kompleks sanlar ushın tómendegi qaǵıydalar orınlı : 1. a+bi=s+di. (eger a=b, s=d bolsa ). 2. (abi) + (sdi) = (as) + (bd) I (kompleks sanlardı qosıw hám ayırıw ). 3. (a+bi) (s+di) = (as-bd) + (ad+bs) i (kompleks sanlardı kóbeytiw). 4. (a+bi) (a-bi) = a2 +b2 (óz-ara qospa kompleks sanlar kóbeymesi). 5. a+0 i=a (haqıyqıy san menen abstrakt bólim koefficienti 0 bolǵan kompleks san). 6. 0+0 i=0 (hár qanday kompleks sannıń 0 menen kóbeymesi). 2§. Komplek sanlardı qosıw hám ayırıw Tariyp: a+bi hám s+di eki komplek sanlar jıyındısı dep (a+s) + (b+d) i sanǵa aytıladı, yaǵnıy : (a+bi) + (s+di) = (a+s) + (b+d) i Mısallar. 1) (6+5 i) + (4+3 i) = (6+4) + (5+3) i=10+8 i; 2) (9 -11 i) + (4+3 i) = (9+4) + (-11+3) i =13-8 i; 3) (0-6 i) + (8-5 i) = (0+8) + (-6 -5) i=8-11 i. Tariyp: z1=a+bi hám z2=s+di kompleks sanlardıń ayırması dep sonday z3=x+yi kompleks sanǵa aytıladıki, bul sannıń z2 menen jıyındısı z1 den ibarat boladı, yaǵnıy : z1- z2= z3 den z2+ z3= z1 Yamasa (a+bi)-(s+di) =x+yi den (s+di) + (x+yi) = (s+x) + (d+y) i Ol halda, (s+x) + (d+y) i=a+bi boladı. Bul hal tek ǵana s+x=a hám d+y=b bolǵandaǵana orınlı boladı. Mısallar. (2+3 i)-(1+2 i) = (2-1) + (3-2) i=1+i. (7+i)-(5+2 i) = (7-5) + (1-2) i=2-i. (3+4 i)-(5+4 i) = (3-5) + (4-4) i=-2+0 i. (5+8 i)-(5+3 i) = (5-5) + (8-3) i=0+5 i. 3§. Kompleks sanlardı kóbeytiw hám bolıw Eki a+bi hám s+di kompleks sanlardı kóbeytiw 1§ dagi 3-qaǵıyda tiykarında atqarıladı, yaǵnıy birinshi hám ekinshi ko'paytuvchi kompleks sanlar hadma-had kóbeytiriledi: Kompleks sanlardıń geometriyalıq suwreti. Kompleks sannıń trigonometrik forması. 2015-06 -04 Haqıyqıy hám qıyalıy kósher Kompleks san argumenti Kompleks sannıń tiykarǵı argumenti Kompleks sannıń trigonometrik forması $z = a+bi$ kompleks sannı kórsetiw eki haqıyqıy $a, b$ sannı - bul kompleks sannıń haqıyqıy hám qıyalıy bólimlerin kórsetiwge teń. Lekin $ (a, b) $ tártiplengen jup sanlar Dekart tórtmuyushler koordinatalar sistemasında koordinataları $ (a, b) $ bolǵan noqat menen ańlatpalanadı. Sonday etip, bul noqat $z$ kompleks sanınıń suwreti retinde de xizmet etiwi múmkin: kompleks sanlar hám koordinata tegisligi noqatları ortasında jekpe-jek muwapıqlıq ornatıladı. Quramalı sanlardı súwretlewde koordinata tegisliginen paydalanilganda, ádetde $Ox$ o'qi haqıyqıy kósher dep ataladı (sebebi sannıń haqıyqıy bólegi noqattıń abssissası retinde alınadı ), $Oy$ o'qi bolsa qıyalıy kósher ( sebebi sannıń qıyalıy bólegi noqattıń ordinatası retinde alınadı ). $M (a, b) $ noqat menen kórsetilgen $z$ kompleks sanı sol noqattıń affiksı dep ataladı. Bunda haqıyqıy sanlar haqıyqıy o'qda jatqan noqatlar menen, barlıq sap qıyalıy sanlar $bi$ ($a = 0$ ushın ) bolsa qıyalıy o'qda jatqan noqatlar menen ańlatpalanadı. Nol sanı O noqat menen ańlatpalanadı. 1-súwret
Eki quramalı konjugat sanlar $Ox$ oǵına salıstırǵanda simmetrik noqatlar menen ańlatpalanadı (1-suwretdegi $z_ (1) $ hám $z_ (8) $ noqatları ). Gúrish. 2 Kóbinese $z$ kompleks sanı tekǵana bul sannı ańlatiwshı $M$ noqat menen, bálki $O$ den $M$ ge shekem bolǵan $\vec (OM) $ vektorı menen de baylanısadı ; $z$ sanınıń vektor menen ańlatılıwı kompleks sanlardı qosıw hám ayırıw ámelin geometriyalıq aytıw kózqarasınan qolaylı esaplanadı. Formada. 2 a, $z_ (1), z_ (2) $ kompleks sanlar jıyındısın ańlatiwshı vektor $\vec (OM_ (1)), \vec ( vektorları ústine qurılǵan parallelogramma qiyiqi retinde alınǵanlıǵı kórsetilgen. OM_ (2)) $ shártlerdi ańlatadı. Bul vektor qosıw qaǵıydası parallelogramma qaǵıydası retinde belgili (mısalı, fizika stulda kúshler yamasa tezliklerdi qosıw ushın ). Ayırıwdı keri vektor menen qosıwǵa kemeytiw múmkin (2 b-su'wret). Gúrish. 3 Ekenin aytıw kerek, noqattıń tegisliktegi ornın onıń $r, \phi$ polyus koordinataları arqalı da anıqlaw múmkin. Sonday etip, kompleks san - noqat affiksı da $r$ hám $\phi$ kórsetiliwi menen anıqlanadı. Ánjirden. 3 ten kórinip turıptı, olda, $r = OM = \sqrt (x^ (2) + y^ (2)) $ bir waqtıniń ózinde $z$ kompleks sanınıń modulı : sannı ańlatiwshı noqattıń polyus radiusı. $z$ bul cifrlardıń modulına teń. $M$ noqattıń polyus múyeshi sol noqat menen kórsetilgen $z$ sanınıń argumenti dep ataladı. Kompleks sannıń argumenti (noqattıń polyus múyeshi sıyaqlı ) birden-bir anıqlanbaǵan ; eger $\phi_ (0) $ onıń bahalarınan biri bolsa, onıń barlıq bahaları formula menen ańlatpalanadı $\phi = \phi_ (0) + 2 k \pi (k = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots) $ Argumentning agregatdagi barlıq bahaları $Arg \: z$ belgisi menen belgilenedi. Sonday eken, hár qanday kompleks san jup haqıyqıy sanlar menen baylanısıwı múmkin: modul hám berilgen sannıń argumenti hám argument uǵımsız tárzde anıqlanadı. Kerisinshe, berilgen modul $|z| = r$ hám $\phi$ argumenti sáykes keledi birlik$z$ berilgen modul hám argumentga iye. arnawlı ayrıqshalıqlar nol nomerine iye: onıń modulı nolǵa teń, argumentga anıq baha berilmegen. Quramalı sannıń argumentini anıqlawda ayriqshalıqqa erisiw ushın argumentning bahalarınan birin tiykarǵı dep ataw múmkin. Ol $arg \: z$ belgisi menen belgilenedi. Ádetde, argumentning tiykarǵı ma`nisi retinde teńsizliklerdi qandiradigan baha saylanadı. $0 \leq arg \: z (keri jaǵdayda $- \pi Haqıyqıy hám sap qıyalıy sanlar argumentining bahalarına da itibar qarataylik: $arg \: a = \begin (jaǵdaylar ) 0, & \text (eger) a>0, \\ \pi, & \text (eger) a $arg \: bi = \begin (jaǵdaylar ) \frac (\pi) (2), & \text (eger) b > 0, \\ \frac (3 \pi) (2), & \text (eger) b Kompleks sannıń haqıyqıy hám qıyalıy bólimleri (noqattıń dekart koordinataları sıyaqlı ) onıń modulı hám argumenti (noqattıń polyus koordinataları ) formulaları járdeminde ańlatpalanadı : $a = r \cos \phi, b = r \sin \phi$, (1) hám kompleks sannı tómendegi trigonometrik formada jazıw múmkin: $z = r (\cos \phi \phi + i \sin \phi) $ (2) (sannıń $z = a + bi$ kórinisindegi jazıwı algebraik kórinistegi jazıw dep ataladı ). Trigonometrik kóriniste berilgen eki sannıń teńligi shárti tómendegishe: eki $z_ (1) $ hám $z_ (2) $ teń boladı, eger olardıń modulları teń bolsa hám argumentlari teń yamasa pútkil san menen parq qilsa. dáwirler sanı $2 \pi $. Nomerdi algebraik formada jazıwdan trigonometrik formada jazıwǵa ótiw hám kerisinshe (4) formulalar boyınsha ámelge asıriladı : $r = \sqrt (a^ (2) + b^ (2)), \cos \phi = \frac (a) (r) = \frac (a) (\sqrt (a^ (2) + b^ (2))), \sin \phi = \frac (b) (r) = \frac (b) (\sqrt (a^ (2) + b^ (2))), tg \phi = \frac ( b) (a) $ (3) hám formulalar (1). Argumentni (onıń tiykarǵı ma`nisi) belgilewde siz birewiniń ma`nisinen paydalanıwıńız múmkin trigonometrik funktsiyalar$\cos \phi$ yamasa $\sin \phi$ hám ekinshi belgin kórip shıǵıń. Mısal. Tómendegi nomerlerdi trigonometrik formada jazıń : a) $6 + 6 i$; b) $3 i$; c) $-10$. Sheshim, a) Bizde bar $r = \sqrt (6^ (2) + (-6 ) ^ (2)) = 6 \sqrt (2) $, $\cos \phi = \frac (6 ) (6 \sqrt (2)) = \frac (1) (\sqrt (2)) = \frac (\sqrt (2)) (2) $, $\sin \phi = - \frac (6 ) (6 \sqrt (2)) = - \frac (1) (\sqrt (2)) = - \frac (\sqrt (2)) (2) $, qaydan $\phi = \frac (7 \pi) (4) $, hám sol sebepli $6 -6 i = 6 \sqrt (2) \left (\cos \frac (7 \pi) (4) + i \sin \frac (7 \pi) (4) \o'ng) $; b) $r = 3, \cos \phi = 0, \sin \phi = 1, \phi = \pi /2$; $3 i = 3 \chap (\cos \frac (\pi) (2) + i \sin \frac (\pi) (2) \o'ng) $ c) $r = 10, \cos \phi = -1, \sin \phi = 0, \phi = \pi$; $-10 = 10 (\cos \pi + i \sin \pi) $ Kompleks sanlar Tiykarǵı túsinikler Nomer boyınsha dáslepki maǵlıwmatlar tas dáwiri - paleomelitga tiyisli. Bular " bir", " az" hám " ko'p". Olar tereńsheler, túyinler hám basqalar formasında belgilengen. Miynet processleriniń rawajlanıwı hám múlktiń payda bolıwı adamdı nomerler hám olardıń atların oylap tabıwǵa májbúr etdi. Natural sanlar birinshi ret payda boldı N ob'ektlerdi sanaw jolı menen alınadı. Keyin, esaplaw zárúrshiligi menen bir qatarda, adamlar uzınlıqlardı, maydanlardı, kólemlerdi, waqtın hám basqa muǵdarlardı ólshew zárúrshiligi payda boldı, bul erda isletiletuǵın ólshew bólimlerin esapqa alıw kerek edi. Bólshekler sonday tuwılǵan. Bólshek hám keri san túsiniklerin rásmiy tiykarlash 19 -asirde ámelge asırılǵan. Pútkil sanlar kompleksi Z natural sanlar, minus belgisi hám nolǵa iye natural sanlar bolıp tabıladı. Pútkil hám bólshek sanlar ratsional sanlar kompleksin quradı Q, lekin hátte turaqlı ózgeriwshen ózgeriwshilerdi úyreniw ushın etarli emes edi. Baslanıw taǵı matematikanıń nomukammalligini kórsetdi: forma teńlemesin tarqatıp alıwdıń múmkin emesligi. X 2 = 3, bunıń menen baylanıslı halda irratsional sanlar payda boldı I. Ratsional sanlar kompleksiniń birligi Q hám irratsional sanlar I haqıyqıy (yamasa haqıyqıy ) sanlar kompleksi bolıp tabıladı R. Nátiyjede, nomer sızıǵı toldırildi: hár bir haqıyqıy nomer odaǵı noqatqa tuwrı keldi. Biraq jıynaqta R teńlemeni sheshiwdiń hesh qanday usılı joq X 2 = - lekin 2. Sonlıqtan, taǵı san túsinigin keńeytiw zárúrshiligi payda boldı. Sonday etip, 1545 jılda kompleks sanlar payda boldı. Olardı jaratıwshısı J. Kardano olardı " sap unamsız" dep ataǵan. " Qıyalıy" atı 1637 jılda frantsuz R. Dekart tárepinen kiritilgen, 1777 jılda Eyler frantsuz nomeriniń birinshi hárıbin isletiwdi usınıs etken. i qıyalıy birlikti belgilew ushın. Bul belgi K. Gauss sebepli ulıwma paydalanıwǵa kirdi. 17—18-ásirlerde qıyallardıń arifmetik tábiyaatı hám olardıń geometriyalıq talqini haqqında tartıslar dawam etdi. Daniyalıq X. vessel, fransuz J. Argan hám nemis K. Gauss ǵárezsiz túrde kompleks sannı koordinata tegisligidegi noqat menen ańlatıwdı usınǵanlar. Keyinirek málim boldıqı, nomerdi noqattıń ózi menen emes, bálki bul noqatqa kelip shıǵıs vektor menen ańlatıw jáne de qolaylaw bolıp tabıladı. Tek 18-ásir aqırı - 19 -ásir baslarında quramalı sanlar ózleriniń múnásip ornın iyeledi. matematikalıq analiz. Olardıń birinshi qollanılıwı teoriyalıq tárepten differensial teńlemeler hám gidrodinamika teoriyasında. Tariyp 1. quramalı san formanıń ańlatpası dep ataladı, bul jerde x hám y haqıyqıy sanlar hám i qıyalıy birlik bolıp tabıladı,. eki kompleks san hám teń Eger hám tek eger,. Eger bolsa, nomer shaqırıladı sap qıyalıy ; bolsa, san haqıyqıy san bolıp, jıynaqtı ańlatadı R FROM, qay jerde FROM quramalı sanlar kompleksi bolıp tabıladı. Konjugatsiyalangan quramalı sanǵa kompleks san dep ataladı. Kompleks sanlardıń geometriyalıq suwreti. Hár qanday kompleks san noqat menen ańlatılıwı múmkin. M (x, y) tegislik Oksi. Haqıyqıy sanlar jupligi radius vektorınıń koordinatalarınıń da ańlatadı, yaǵnıy. tegisliktegi vektorlar kompleksi hám kompleks sanlar kompleksi ortasında Birma -bir jazbalar ornatılıwı múmkin:. Tariyp 2. Haqıyqıy bólim X. Belgilew: x= Re z (Lotin realistan). Tariyp 3. qıyalıy bólim quramalı san haqıyqıy san dep ataladı y. Belgilew: y= Men z (Lotin Imaginarius den). Re z oqqa jatqızıladı ( Oh), Im z oqqa jatqızıladı ( Ay), ol halda kompleks sanǵa uyqas vektor noqattıń radius vektorı boladı M (x, y), (yamasa M (Re z, Im z)) (1-súwret). Tariyp 4. Noqatları kompleks sanlar kompleksi menen baylanısqan tegislik dep ataladı quramalı tegislik. Abtsissa dep ataladı haqıyqıy kósher, sebebi ol haqıyqıy nomerlerdi óz ishine aladı. Y o'qi dep ataladı qıyalıy kósher, ol jaǵdayda sap qıyalıy kompleks sanlar bar. Kompleks sanlar kompleksi belgilenedi Tariyp 5. modul quramalı san z = (x, y) vektordıń uzınlıǵı :, yaǵnıy.. Tariyp 6. Dálil kompleks san o'qning oń baǵdarı arasındaǵı múyesh dep ataladı ( Oh) hám vektor :. Túsindirme 3. Eger noqat z haqıyqıy yamasa qıyalıy o'qda jatadı, onı tuwrıdan-tuwrı tabıw múmkin. Ótiw) nomerler. 2. Kompleks sanlardı ańlatıwdıń algebraik forması quramalı san yamasa quramalı, den ibarat san dep ataladı eki nomer (bólimler) - haqıyqıy hám qıyalıy. haqıyqıy hár qanday oń yamasa keri nomer dep ataladı, mısalı, + 5,- 28 hám taǵı basqa. Haqıyqıy sannı “L” hárıbi menen belgileymiz. ,
, Download 18.34 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|