Kompleks sonlar

§2.2. Matematika o’qitish jarayonida kompetenciyaning shakllanishi 
Garmonik elektro magnit to’lqin-yassi elektromagnit to’lqinning xususiy holi 
bo’lib,fanda muhim ahamiyat kasb etadi.Ma’lumki,vektor-potensial ifodasi 
quyidagi ko’rinishga ega: 
A=A(t-
𝑧
𝑐
); (1) 
Bu ifodadagi vektor-potensialni 
𝑡 −
𝑧
𝑐
argumentning oddiy davriy funkciyasi,ya’ni 
garmonik funkciyasi deb hisoblansa,quyidagicha yozish mumkin bo’ladi: 
A=A
0
𝑒
−𝑖𝜔(𝑡−
𝑧
𝑐
)
; (2) 
bu yerda 
Α
0
- o’zgarmas kompleks vektor bo’lib,to’lqin terbanishining 
amplitudasi,
𝜔 –to’lqin terbanishininig siklik Chastotasi deyiladi.To’lqin tarqalish 
yo’nalishi z koordinata o’qi bo’yicha bo’lmasa, u vaqtda
𝓏 = (𝑟𝑛); (3) 
bu yerda r to’lqin tekisligi nuqtasining radius-vektoridir,n to’lqin tarqalish 
yo’nalishini ortdir.Ma’lumki, 
𝑖𝜔(t- 
𝑧
𝑐
)=
𝑖𝜔 [𝑡 − 
1
𝑐
(𝑟𝑛)]=𝑖 [𝜔𝑡 − 
𝜔
𝑐
(𝑟𝑛)] ; (4) 
Quyidagi tarif orqali yangi k vektor kiritish mumkin: 
k=
𝜔
𝑐
𝑛; (5) 

---

U vaqtda 
𝑖𝜔(𝑡 −
𝑧
𝑐
)= 𝑖[𝜔𝑡 − 𝑘𝑟)],demak, 
A=A
0
𝑒
𝑖[𝜔𝑡−(𝑘𝑟)]
; (6) 
Ma’lumki,ko’rsatkichli funkciya 
𝑒
𝑖𝛽
ning qiymati 
𝛽 funkciya har 2𝜋 ga o’zgarishi 
bilan yana takrorlanadi.Masalan, 
𝑒
𝑖𝜔(𝑡+𝑇)
= 𝑒
𝑖(𝜔𝑡+2𝜋)
Demak, 
𝜔 =
2𝜋
𝑇
; (7) 
Bu yerda 
𝑇 −to’lqin tebranishinig davri, 𝜈 =
1
Τ
to’lqin tebranishining chastotasi 
deyiladi.Xuddi shuningdek,
𝑒
−𝑖
𝜔
𝑐
[(𝑟𝑛)+𝜆]
= 𝑒
−𝑖[
𝜔
𝑐
(𝑟𝑛)+2𝜋]
, demak
𝜔
𝑐
𝜆 = 2𝜋 
yoki 
𝜆 =
2𝜋𝑐
𝜔
; (8) 
bu yerda 
𝜆 −to’lqin uzunligi deyiladi.Shuni nazarda tutib,(5) ga muvofiq yozish 
mumkin: 
𝑘 =
2𝜋
𝜆
𝑛; (9) 
Yuqorida ta’riflangan 
𝑘 vektor to’lqin vektori deb ataladi.Ko’rinib turibdiki, 
uning yo’nalishi to’lqin tarqalishi yo’nalishidir, son qiymati esa 
𝑘 =
2𝜋
𝜆
, ya’ni 2𝜋 
sm uzunlikda joylashgan to’lqinlar soniga teng. Shuning uchun 
𝑘 kattalik to’lqin 
soni deyiladi. 
Garmonik elektromagnit to’lqinlar uchun elektr maydon kuchlanganligi 
ifodasini quyidagicha yozish mumkin: 
Ε = −
1
𝑐
𝛿Α
𝛿𝑡
= −
1
𝑐
Α𝑖𝜔 = −𝑖
𝜔
𝑐
Α
0
𝑒
−𝑖[𝜔𝑡−(𝑘𝑟)]
yoki 
Ε = Ε
0
𝑒
−𝑖[𝜔𝑡−(𝑘𝑟)]
; (10) 
bo’ladi.Bu yerda 
Ε −o’zgarmas kompleks vektor.Shuningdek, 
Η = Η
0
𝑒
𝑖[𝜔𝑡−(𝑘𝑟)]
; (11) 

---

Magnit maydon va elektr maydon har doim bir-biriga simmetrik ekanligini 
yoddan chiqarmaslik zarur! 
Dastlab, (10) formuladagi kvadrat qavs ichida turgan ifodani 
𝜓 orqali 
𝜓 = 𝜔𝑡 − (𝑘𝑟); (12) 
belgilab,so’ngra 
Ε
0
kompleks vektorni ikkita haqiqiy 
𝑎
1
va kompleks 
𝑎
2
vektorlar 
orqali ifodalash lozim:
Ε
0
= 𝑎
1
+ 𝑖𝑎
2
.
U vaqtda (10) ga muvofiq, 
Ε = (𝑎
1
+ 𝑖𝑎
2
)𝑒
𝑖𝜓
= (𝑎
1
+ 𝑖𝑎
2
)(cos 𝜓 + 𝑖 sin 𝜓) = 𝑎
1
cos 𝜓 − 𝑎
2
sin 𝜓 +
𝑖(𝑎
1
sin 𝜓 + 𝑎
2
cos 𝜓)
yoki haqiqiy qismini ajratib yozilsa, 
Ε = 𝑎
1
cos 𝜓 − 𝑎
2
sin 𝜓 ; (13) 
Ikkita o’zaro perpendikulyar bo’lgan haqiqiy 
Ε
1
va 
Ε
2
vektorlar berilgen bo’lsin. 
Ya’ni, 
(Ε
1
Ε
2
) = 0; (14) 
Ularni 
𝑎
1
va 
𝑎
2
vektorlar bo’yicha quyidagi ko’rinishda ajratish mumkin: 
Ε
1
= 𝑎
1
cos 𝛾 + 𝑎
2
sin 𝛾 ; (15) 
Ε
2
= 𝑎
1
cos 𝛾 − 𝑎
2
sin 𝛾 ; (16) 
Bu yerda 
𝛾 burchak hozircha noma’lum. 
So’nggi formulalardan ko’rinib turibdiki, 
𝑎
1
= Ε
1
cos 𝛾 + Ε
2
sin 𝛾, 𝑎
2
=
Ε
1
sin 𝛾 − Ε
2
cos 𝛾 .Shularga asosan, (13)-formuladan ] 

---