Kompleks sonning trigonometrik shakli

KOMPLEKS SONNING TRIGONOMETRIK SHAKLI
z = x + yi ko'rinishdagi son algebraik ko'rinishdagi kompleks son deyiladi. Kompleks sonning trigonometrik shaklini hosil qilish uchun 71-chizmadan foydalanamiz. Chizmadan:
X = r cosφ ; у = rsin φ (1)
bunda: r — kompleks soni z ni tasvirlagan vektorning uzunligini
ifodalaydi va unga r sonning moduli, φ burchakni esa z ning argumenti
deyiladi.
(1) =>|z| = | X + уi| = r =√x²+y² . (2)
Argument bir qiymatli aniqlanmay, balki 2πk qo'shiluvchi qadar
aniqlikda aniqlanadi, bunda к — butun son. Argumentning barcha
qiymatlari orasidan 0 < φ <2πk tengsizliklarni qanoatlantiruvchi
bittasini tanlaymiz. Bu qiymat bosh qiymat deyiladi va tubandagicha
belgilanadi: φ = arg z
(1) tengliklarni hisobga olib, kompleks sonni quyidagicha ifodalash
mumkin:
(1)=> z = x + у => r (cos φ + sin φ), (1)=> z = x + у => r (cos φ + sin φ), (3)
bu yerda:
r =√x²+y² ;
arctg - , agar x >0; у >0 bo‘lsa;
φ=arg z π + arctg , agar x < 0 bo'lsa;
2 π + arctg agar x > 0, у < 0 bo'lsa.
(3) ga kompleks sonning trigonometrik shakli deyiladi.
1-misol . Kompleks sonning moduli 3 ga, argumenti φ = g a
teng bo'lsa, uning haqiqiy va mavhum qismlarini toping.
Ye c h i s h . (1) formuladan:
X = r cos φ = 3cos = 3 =
у = rsinφ = 3sin = 3 =
2-mi sol . z = i kompleks sonning argumentini toping.
Y e c h i s h . x = 0 ; y = 1; r= 1; φ = .

z=x+iy z z=x+iy
z=x-iy z=-x-iy

3-misol . Qo‘shma va qarama-qarshi sonlarni chizmada tasvirlang va izohlang.

Yechish . 72-chizmadan ko'rinadiki, qo'shma kompleks sonlar bir xil modulga ega va absolut qiymatlari bo'yicha teng argumentlarga ega bo'lib, haqiqiy o'qqa simmetrik bo'lgan nuqtalar bilan tasvirlanadi, y a ’ni qarama-qarshi kompleks sonlar koordinatalar boshiga nisbatan simmetrik nuqtalar bilan tasvirlanadi
(72-chizma).
4-misol . z = 1 -i kompleks sonni trigonometrik shaklda ifodaiang.
Y e c h i s h .
x = l; y = - l ; r = √2;
tg φ = -1 ; φ= 2π-arctg(l) = 2 π - = .
Shunday qilib,
Z=√2(cos
Endi kompleks sonlar to'plamining ba’zi bir to'plam ostilarini ifodalovchi munosabatlami geometrik nuqtayi nazardan ko'rib o'taylik.
a) |z| = 2, bu munosabat kompleks tekisligida markazi koordinatalar
boshida, radiusi 2 ga teng bo'lgan aylananing nuqtalarini ifodalaydi;

b) 2 < |z| < 3 munosabat esa markazi koordinatalar boshida joylashib, ichki radiusi 2 ga teng bo'lgan konsentrik joylashgan aylanalar bilan chegaralangan halqa ichidagi nuqtalar to'plamini ifodalaydi (73-chizma).

y








j



i x


73-chizma. 74-chizma.

d) arctg Z = munosabatga kompleks tekislikda koordinatalar

boshidan 30° burchak ostida chiquvchi nurdagi nuqtalar to'plami mos keladi.

e) < arg z< munosabatga esa kompleks tekislikdagi koordinatalar boshidan

45° va 60° burchak ostida chiquvchi nurlar bilan chegaralangan nuqtalar
to'plami hamda nurlar ustida yotuvchi nuqtalar to'plami kiradi (74-chizma).