Kompleks ózgeriwshili úzliksiz funkciyalar. Trigonometriyalıq funkciyalar

§2.Kompleks ózgeriwshili úzliksiz funkciyalar. Trigonometriyalıq funkciyalar
Meyli sáwlelendiriwi oblastın kompleks tegisligine ótkizetuǵın bolsın, yaǵnıy qálegen noqatta funkciyası sáykes kelsin, bunda u , .
Joqarıda anıqlanǵan funkciya ushın berilgen oblastta funkciyanıń limiti, úzliksizligi túsinikleri haqıyqıy analizdegige uqsas anıqlanadı.
Eger qálegen noqatları ushın bolsa, funkciyası oblastında, usı oblasttıń shegarası ǵa deyin, úzliksiz delinedi. Eger bolsa, bul anıqlama funkciyasınıń oblastındaǵı úzliksizliginiń anıqlaması boladı. Ulıwma funkciyasınıń oblastında shegaraǵa deyingi úzliksizliginen, onıń kópliginde úzliksizligi kelip shıǵadı ([3]).
Kompleks ózgeriwshili elementar funkciyalar
Kórsetkishli funkciya. Bunı anıqlaymız. Anıqlamadan tómendegi qásiyetler kelip shıǵadı:
1) , yaǵnıy
2) –Eyler formulası. Bul formuladan elementar trigonometriyalıq barlıq formulaları kelip shıǵadı.
3) ;
4) , periodlı funkciya.
5) qálegen ushın.
6) úzliksiz.
7) limitke iye emes.
8) funkciyası nolden basqa barlıq mánislerdi qabıl etedi, yaǵnıy teńlemesi qálegen ushın sheshimge iye.
teńlemesiniń sheshimi kompleks sannıń logarifmi delinedi. Bunnan
funkciyası menen tómendegi Bernulli paradoksları baylanıslı:
1. , sebebi
2. X
teńliklerinen 
Trigonometriyalıq funkciyalar

Bulardıń qásiyetleri:
1) hám kompleks tegisliginde úzliksiz.
2) periodlı, periodı .
3) hám qálegen mánisti qabıl etedi, yaǵnıy hám teńlemeleri nıń qálegen mánisinde sheshimge iye (tek ǵana bolǵanda emes).
4) hám ushın bolǵanda barlıq formulalar hám funkciyaları ushında bolǵanda orınlı boladı.
5) da Bunan hám lerdiń shegaralanbaǵanlıǵı kelip shıǵadı. hám funkciyaları ádettegidey anıqlanadı.
Giperbolalıq funkciyalar. Giperbolalıq sinus hám kosinus tómendegishe kirgiziledi:

Bulardıń qásiyetleri funkciyasınıń qásiyetlerinen kelip shıǵadı. Kompleks tegislikte formulaları orınlı boladı.([1], [2]).
Mısallar hám máseleler.
1. Qálegen hám ushın ekenligin dálilleń.
Sheshiliwi.
bolǵanlıqtan, Muavr formulası boyınsha

2. Komleks tegislikte teńsizligi menen qanday kóplik anıqlanǵan?
Sheshiliwi. Meyli bolsın. Onda yamasa Keyingi teńsizliktiń eki jaǵın kvadratqa kóterip hám ápiwayılastırǵanımızdan keyin oǵan ekvivalent bolǵan teńsizlikke iye bolamız:
Bul orayı noqatın da bolǵan, radiusı ke teń bolǵan tuyıq dóńgelek boladı.
3. Meyli bolsın. Eger bolsa onda noqatlarına sáykes keletuǵın kóplikti tabıń.
Sheshiliwi: teńlemesin ózgeriwshisine qarata sheship, teńlemesine iye bolamız. Onda biz izlegen kópliktiń barlıq noqatları teńligin qanaatlandıradı. Bunnan bolǵanlıqtan . Bul hám noqatlarınan birdey uzaqlasqan noqatlardıń kópligi kompleks tegisliginiń jorımal kósheri boladı.
4. Parametrli teńlemeler menen anıqlanǵan iymekliklerdi tabıń:



5. Berilgen dóńes oblastı ushın bolatuǵunlıǵın dálilleń.
6. funkciyası oblastta shegaralanǵan, lekin úzliksiz emesligin kórsetiń.
7. funkciyasınıń da, qálegen múyeshinde sheksizlikke umtılatuǵın, al qálegen múyeshinde tek ǵana bolǵanda sheksizlikke umtılatuǵının kórsetiń.
8. funkciyasınıń qálegen múyeshinde da umtılıtuǵının dálilleń.