Конспект лекций для студентов 2 курса механико-математического

Свойства уравнений (5.2) и (5.3).

1. 
   Уравнения остаются линейными при любой непрерывно дифференцируемой n раз замене неза- висимой переменной x = ϕ(t).
   
2. 
   Уравнения остаются линейными при линейной замене неизвестной функции y(x) = a(x)z(x) +
   

b(x), где a(x), z(x), b(x) — непрерывно дифференцируемые n раз функции.

Специальная замена вида

_{— 1} ^, a₁(x) _dx

сводит дифференциальные уравнения (5.2) и (5.3)

−

n

a₀(x)

y(x) = e

z(x)
к уравнениям, не содержащим (n 1)-й производной.

Свойства решений уравнения (5.3).

1. 
   
   ∈ R ∈ C
   Если y(x) — решение уравнения (5.3), то для любого α (α ) функция y₁(x) = αy(x)
   

также является решением этого уравнения.

2. 
   Если y₁(x) и y₂(x) — решения уравнения (5.3), то функция y(x) = y₁(x)+y₂(x) также является решением этого уравнения.
   
3. 
   Если y₁(x), . . . y_n(x) — решения уравнения (5.3), то функция y(x) = C₁y₁(x) + . . . + C_ny_n(x)
   

также является решением этого уравнения.

1. Понятие о линейной зависимости и линейной независимости функций

Определение 5.1. Функции f₁(x), . . . , f_n(x) называются линейно независимыми, если их линей- ная комбинация α₁f₁(x) + . . . + α_nf_n(x) = 0 только в случае, когда α₁ = α₂ = . . . = α_n = 0.
Определение 5.2. Функции f₁(x), . . . , f_n(x) называются линейно зависимыми, если существуют такие α₁, . . . , α_n, не все равные нулю, что линейная комбинация α₁f₁(x) + . . . + α_nf_n(x) = 0.

Необходимое и достаточное условие линейной зависимости функций.

n
Функции f₁(x), . . . , f_n(x) являются линейно зависимыми тогда и только тогда, когда одна из этих функций линейно выражается через остальные, то есть существуют такие постоянные α₁, . . . α_n−1, что

f_i(x) =
k=1Σ(k=/

α_kf_k(x), i = 1, n.
i)

−
Пусть функции y₁(x), y₂(x), . . . , y_n(x) имеют производные до (n 1)-го порядка. Тогда опреде- литель

.

.
y₁(x) y₂(x) . . . y_n(x)
y^′ (x) y^′ (x) . . . y^′ (x)

.


.


.


.

W (y₁
. . . y_n
1

.

.
) = W (x) = .
.
2 n

.
. . .
. . .

называется определителем Вронского.

1

2

n
_{. y}(n−1)_{(x) y}(n−1)_{(x) . . . y}(n−1)_{(x) .}
Теорема 5.1. Если система функций линейно зависима, то их определитель Вронского равен нулю.
Доказательство. Пусть функции y₁(x), y₂(x), . . . , y_n(x) линейно зависимы. Тогда существуют та- кие постоянные α₁, . . . , α_n, не все равные нулю, что α₁y₁(x) + . . . + α_ny_n(x) = 0. Без ограничений
общности рассуждений можем считать, что α_n 0. Тогда

y (x) = − ^α1 y (x) − . . . − ^αn−1 y

(x).

n _αn 1 _αn n−1

Вычислим y^′ (x), . . . , y⁽ⁿ⁻¹⁾(x) и подставим полученные значения в определитель Вронского вместо

_n n
последнего столбца. При этом получится определитель, у которого последний столбец есть линейная комбинация предыдущих (n − 1) столбцов. А такой определитель равен нулю.

_≥
Примечание 5.1. Сформулированное условие линейной зависимости функций является необходи- мым, но не является достаточным условием. Для доказательства этого факта приведем пример функций, определитель Вронского которых равен нулю, но не являющихся линейно зависимыми.

y₁(x) =
x², x 0,

_≥
0, x < 0, ^{y2(x) =}
0, x 0, x², x < 0,

_{ . 2x 0 .} , x ≥ 0,
_{ .}


x² 0 ^.

^ . .
 ^{. 0 x2 .}
_{0 2x} , x < 0.

≡
Таким образом, определитель Вронского W (x) 0. Но функции y₁(x) и y₂(x) не являются линейно зависимыми. Действительно,

y₂(x)

0, x < 0.
^y1^(x) ₌ ^{∞, x ≥ 0,}


Лемма 5.1. Если y₁(x), y₂(x), . . . , y_n(x) — линейно независимые решения уравнения Ly = 0, то определитель Вронского W (y₁, . . . , y_n) не обращается в нуль ни в одной точке области суще-

ствования решений уравнения. (Если a₁(x), . . . , a_n(x) ∈ (a, b), то W (y₁, . . . , y_n) x₀ ∈ (a, b)).
0 ни при каком

∈
Доказательство. Доказательство проведем от противного. Пусть существует x₀ (a, b) такой, что
W (x₀) = 0, то есть



.

.
y₁(x₀) y₂(x₀) . . . y_n(x₀)
y^′ (x ) y^′ (x ) . . . y^′ (x )

.


.


.


.

1 <sup>0

.</sup>0

.
W (x ) = .
.
2 ⁰ n ⁰
. . .
. . .
= 0.

.
.

1

0

2

0

n

0
_{. y}(n−1)_{(x ) y}(n−1)_{(x ) . . . y}(n−1)_{(x ) .}
Рассмотрим функцию y(x) = C₁y₁(x) + . . . + C_ny_n(x). По свойству решений уравнения (5.3), если y₁(x), . . . , y_n(x) есть решения уравнения Ly = 0, то и их линейная комбинация также является реше- нием этого уравнения. Следовательно, y(x) — решение уравнения Ly = 0. Вычислим производные этой функции до (n − 1)-го порядка:
y^′(x) = C₁y₁^′ (x) + . . . + C_ny_n^′ (x),

.
y⁽ⁿ⁻¹⁾(x) = C y⁽ⁿ⁻¹⁾(x) + . . . + C


_y(n−1)_(x).
(5.4)

1 ₁ n ⁿ
Вычислим значение функции y(x) и ее производных в точке x₀. Составим систему уравнений




C₁y₁(x₀) + . . . C_ny_n(x₀) = 0,

_. 1
.

1

0

n

0


1

1

0

n

n

0
C y⁽ⁿ⁻¹⁾(x ) + . . . + C y⁽ⁿ⁻¹⁾(x ) = 0.
Это линейная однородная система уравнений, главный определитель которой есть определитель Вронского с неизвестными C₁, . . . , C_n. Так как главный определитель системы по предположению равен нулю, то существует ненулевое решение этой системы: C₁ = C⁰, C₂ = C⁰, . . . C_n = C⁰.
1 2 n
Подставив эти C⁰, C⁰, . . . , C⁰ вместо C₁, C₂, . . . , C_n в функцию y(x) и (5.4), получим
1 2 n
y(x) = C⁰y₁(x) + . . . + C⁰y_n(x),
1 n
y^′(x) = C⁰y^′ (x) + . . . + C⁰y^′ (x),
1 1 n n
.
y⁽ⁿ⁻¹⁾(x) = C⁰y⁽ⁿ⁻¹⁾(x) + . . . + C⁰y⁽ⁿ⁻¹⁾(x).
1 1 n ⁿ


В точке x₀ из системы (5.5) имеем


y(x₀) = 0,
y^′(x₀) = 0,

_
.
y⁽ⁿ⁻¹⁾(x₀) = 0.

≡
В частности, этими данными Коши обладает нулевое решение. А по теореме существования и един- ственности, которая выполняется в силу предположения леммы, любое решение, имеющее тот же набор данных Коши, должно с ним совпадать. Отсюда имеем y(x) 0. Таким образом, получили, что существуют такие константы C⁰, C⁰, . . . , C⁰, не все равные нулю, что
1 2 n
C⁰y₁(x) + . . . + C⁰y_n(x) = 0,
1 n


то есть решения y₁(x), . . . , y_n(x) линейно зависимы.