Конспект лекций по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

2. Условные распределения и их нахождение по таблице распределения

Вспомним теперь формулу вероятности произведения зависимых событий:
Р(АВ) = Р(А)Р_А(В) = Р(В)Р_В(А),
в которой вероятность Р_В(А) = называют условной вероятностью появления события А, найденную в предположении, что событие В появилось.
Если в таблице 1 зафиксировать какое-либо значение одной случайной величины, например, положить (У=Y_j), то получим условное распределение случайной величины Х при условии (У=Y_j). Вероятность P_j(X_i) этого распределения называют условной вероятностью события (Х= X_i), найденного в предположении, что событие (У=Y_j) произошло. Из определения условной вероятности следует:
P_j(X_i) = = .
Аналогично условное распределение случайной величины Y при условии (Х= X_i) задаётся с помощью условной вероятности
Р_i (Y_j) = = .

3. Понятие о функции распределения и плотности вероятности

двумерной случайной величины

Определение 1. Функцией распределения двумерной случайной величины (X, Y) называется функция F(x, y), выражающая вероятность совместного выполнения двух неравенств Х < x и Y < y, т.е. F(x, y) = P(Х < x, Y < y).
Геометрически функция распределения F(x, y) означает вероятность попадания случайной точки (Х, У) в бесконечный квадрант, лежащий левее и ниже точки M(x, y).
Свойства функции распределения:
1. Функция распределения F(x, y) есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей, т.е. 0 ≤ F(x, y) ≤ 1.
2. Функция распределения F(x, y) есть неубывающая функция по каждому из аргументов.
3. Если хотя бы один из аргументов обращается в -∞, функция распределения F(x, y) равна нулю.
4. Если один из аргументов обращается в +∞, то функция распределения F(x, y) становится равной функции распределения случайной величины, соответствующей другому аргументу.
5. Если оба аргумента равны +∞, то функция распределения равна единице.
Геометрически функция распределения есть некоторая поверхность, обладающая указанными свойствами.
Определение 2. Двумерная случайная величина (Х, У) назывется непрерывной, если ее функция распределения F(x, y) – непрерывная функция, дифференцируемая по каждому из аргументов, и существует вторая смешанная производная.
Определение 3. Плотностью вероятности непрерывной двумерной случайной величины (Х, У) называется вторая смешанная частная производная ее функции распределения, т.е. φ(х, у) =  .
Геометрически плотность вероятности двумерной случайной величины (Х, У) представляет собой поверхность распределения в пространстве ОXYZ.
Плотность вероятности φ(х, у) обладает свойствами, аналогичными свойствам плотности вероятности одномерной случайной величины:
1. Плотность вероятности двумерной случайной величины есть неотрицательная функция.
2. Вероятность попадания непрерывной двумерной случайной величины в прямоугольник вычисляется по формуле

3. Условные плотности распределения определяются формулами:

4. Условные математические ожидания вычисляются по формулам: