Koordinatalardı almastırıw. Cilindrik hám sferik koordinatalar

Koordinatalardı almastırıw. Cilindrik hám sferik koordinatalar
Joba :
1. Koordinatalardı almastırıw
2. Cilindrik hám sferik koordinatalar
3. Keńislikgi tuwrı múyeshli koordinatalar sisteması
Bir vektordan ekinshisine qısqa búklem baǵdarı saat strelkası baǵdarına keri bolsa, bul vektorlar oń ekilik, keri jaǵdayda shep ekilik quraydı dep ataladı. Bazis retinde qandayda bir ekilik tańlansa, biz orientatsiya tańlap alınǵan dep esaplaymiz. Bizge {ij} hám {i j} ortonormal bazislar berilgen bolsin. Bul bazislar járdeminde kiritilgen Dekart koordinatalar sistemasıların uyqas túrde O xy hám O 'x'y' menen belgileylik. Noqattıń “eski” hám “jańa” koordinataları arasındaǵı baylanısıwdı tabamız. " Jańa” koordinatalar sisteması orayınıń “eski” koordinata sisteması daǵı koordinatalarınıń (a, b ) menen belgileyli
Tegislikte M noqat berilgen bolıp, onıń Oxy hám O 'x'y' sistemalar daǵı koordinataları uyqas túrde (x, y) hám (x\y') juplıqlardan ibarat bolsın.
Biz tómendegi teńliklerge iye balamız :
munasábetlami payda etemiz. Bul ańlatpalardı : ga qoyib
teńlikti payda etemiz.
Bazis vektorlari{i;j} bazislar birdey orientatsiyaga iye. Bul halda eger Fi i menen j vektorlar arasındaǵı múyeshni belgilesak, j hám j shtrix vektorlar arasındaǵı múyesh da Fi ga teń boladı. Joqarıdaǵı (1) teńliklaming hár ekewin i hám j vektorlarǵa skalyar ko'paytirib,
formulalardı alamız.
Eger {i;j} hám {I'vaj'} bazislar hár túrlı orientatsiyaga iye bolsa, jvaj' vektorlar arasındaǵı múyesh PI-FI ga teń boladı. Bul halda ( 1 ) teńliklerdiń hár birin i hám j vektorlarǵa skalyar ko'paytirib formulalardı payda etemiz. Bul formulalardı (2) formulalarǵa qoyıp, uyqas túrde tómendegi eki formulalardı alamız : Bul halda ótiw determinanti ushın teńlik orınlı. Ekinshi halda bazislaming orientatsiyalari hár túrlı hám koordinatalardı almastırıw formulaları kóriniste boladı. Bul halda ótiw determinanti ushın teńlik orınlı boladı. Sonday eken, koordinatalar sistemesini almastırganimizda ótiw matritsasining determinanti oń bolsa, oriyentatsiya ózgermeydi. Eger ótiw matritsasining determinanti keri bolsa, oriyentatsiya qaramaqarshi oriyentatsiyaga ózgeredi.
Cilindrik koordinatalar sisteması
Keńislik cilindrik koordinatalar sistemasın kirgiziw ushın biz keńislik bir tegislikti hám oǵan tiyisli qandayda-bir O noqattı tańlawımız kerek. Saylanǵan tegislikte O noqattı polyus bası retinde alıp, bul tegislikte polyus koordinatalarınıń kiritemiz. Berilgen tegislikke perpendikulyar hám O noqattan ótetuǵın o'qni O Z oǵı retinde alıp, keńislik cilindrik koordinatalar sistemasın tómendegishe kiritemiz: keńislik berilgen M noqattıń tegisliktegi proyeksiyasın N menen, onıń OZo'qdagi proeksiyasın M ' menen belgileymiz. Cilindrik koordinatalar retinde (Ro, Fi, z) shamalami alamız. Bul jerde (Ro, Fi) - N noqattıń beriigan tegisliktegi polyus koordinataları, z bolsa OM' kesma úlkenligi bolıp tabıladı.
Eger biz keńislik O XY tegislik retinde saylanǵan tegislikti, OX kósher retinde polyus o'qini alıp dekart koordinatalar sistemasın kiritsak: baylanısıwlardı alamız. Bul jerde Ro, Fi ózgeriwshiler ushın munasábetler orınlı bolıp tabıladı. Keńislik cilindrik koordinatalar sistemasın kirgizgenimizde keńislik bir o'qqa iye bolǵan ichma-ish jaylasqan (konsentrik) cilindrlerge ajraladi`. Keńisliktiń hár bir noqatı bul cilindrlerdiń tek birewine tiyisli boladı. Eger noqattıń cilindrik koordinataları Ro, Fi, Z bolsa, bul nqta jatqan silindming radiusı Ro ga teń boladı. Eger noqat cilindrler oǵına tiyisli bolsa, ol tiyisli bolǵan silindming radiusı nolǵa teń boladı. Joqarıdaǵı saylanǵan dekart koordinatalar sistemasında cilindrlerdiń o'qi Az oǵınan ibarat esaplanadi. Bul dekart koordinatalar sistemasında konsentrik cilindrler teńlemesi X*+Y*=Ro* kóriniste boladı.

Sferik koordinatalar sisteması

Keńislik sferik koordinatalar sistemasın kirgiziw ushın Oxyz —Dekart koordinatalar sisteması kiritilgen dep esaplab, berilgen M noqat ushın orayı koordinata basında bolǵan hám radiusı P+[OM] ga teń bolǵan sferani qaraymız. Berilgen M noqattıń Oxy tegisligine proeksiyasın M' menen, OM vektor hám O z oǵı arasındaǵı múyeshni Fi menen, OM” vektor hám O x o'qi arasındaǵı múyeshni Alfa menen belgileymiz. Múyeshlami anıqlawda Fi múyesh sonday saylanadıki, O z oǵınıń oń baǵdarı tárepinen qaraganimizda, Ox o'qini OM' nur menen ústpe-úst túsiriw ushın saat mili baǵdarına qarsı jóneliste Fi múyeshka burıw kerek. Joqarıda anıqlanǵan Po, Fi, Alfa shamalar M noqattıń sferik koordinataları dep ataladı. Buǵan sebep, keńisliktiń koordinataları Ro=Const teńlemeni qánaatlantıratuǵın noqatları kompleksi sferani quraydı. Keńisliktiń hár bir noqatı radiusı koordinata basınan sol noqatqasha bolǵan aralıqqa teń bolǵan sferada jatadı. Noqattıń dekart koordinataları menen sferik koordinataları arasındaǵı baylanısıw tómendegishe boladı :
Ádetde keńislik noqatları menen olardıń sferik koordinataları arasındaǵı uyqaslıq óz-ara bir bahalı bolıwı ushın shegaralar qóyıladı. Keńislik sferik koordinatalar sistemasın kirgizgenimizde keńislik orayı bir noqatda bolǵan sferalarga ajraladi`. Eger noqattıń sferik koordinataları Ro, Fi, alfa bolsa, ol jatqan sferaning radiusı Ro ga teń boiadi. Bul aralıq noqattan koordinatalar basınasha bolǵan aralıqqa teń bolıp tabıladı. Noqat Ro radiuslı sferada jatqan bolsa, Fi hám Alfa múyeshler onıń sferadagi jaǵdayın anıqlaydı.
Cilindrik hám sferik koordinatalar
sanlar ushlıgiga keńislik noqatınıń cilindrik koordinataları dep ataladı, bul jerde noqattıń tegislikke proyeksiyası radius vektorınıń uzınlıǵı, bul radius vektordıń kósher menen shólkemlestirgen múyeshi, noqattıń applikatasi (13-forma ).
Cilindrik hám dekart koordinataları tómendegi baylanısıwǵa iye:, bul jerde

sanlar ushlıgiga keńislik noqatınıń sferik koordinataları dep ataladı, bul jerde noqat radius vektorınıń uzınlıǵı,

radius vektordıń tegislikke proyeksiyasınıń kósher menen shólkemlestirgen múyeshi, radius vektordıń o'qdan iyiw múyeshi (14-forma ).
Sferik hám dekart koordinataları tómendegi baylanısıwǵa iye
bul jerde.
Mısal
Tuwrı múyeshli koordinatalar sistemasında berilgen
noqattıń cilindrik hám sferik koordinatalarınıń tabamız :, sebebi noqat tegisliktiń
shereginde jatadı,
Sonday eken, berilgen noqattıń cilindrik koordinataları
noqattıń sferik koordinatalarınıń tabamız :, Sonday eken,
Keńislikgi tuwrı múyeshli koordinatalar sisteması
Ulıwma baslanǵısh noqatqa hám birdey masshtab birligine iye bolǵan óz-ara perpendikulyar, hám oqlar keńislik tuwrı múyeshli koordinatalar sistemasın payda etedi (12-forma ). Bul sistemanıń o'qi abssissalar o'qi, o'qi ordinatalar o'qi, o'qi applikatalar o'qi hám olar birgelikte koordinata oqları dep ataladı. Bunda, hám oqlardıń ortlari,, menen belgilenedi, noqatqa koordinatalar bası dep ataladı,, hám oqlar jaylasqan keńislik koordinatalar keńisligi dep ataladı hám menen belgilenedi.
koordinatalar tegislikleri keńisliktiń bul tegisliklerge tiyisli bolmaǵan barlıq noqatların oktantlar dep atalıwshı segizta bólekke boladı. Joqarı yarım keńislik ( de) oktantlarni barlıq koordinataları oń bolǵan oktantdan kelip shıqqan halda saat strelkasına teris yo'nalashda ( o'qning oń baǵdarınan qaralganida) menen belgileymiz. Tómen yarım keńislik ( de) oktantlarni menen belgileymiz, bunda uyqas túrde oktant oktantning,
Koordinatalar Oktantlar
I II III IY Y YI YII YIII
+ - - + + - - +
+ + - - + + - -
+ + + + - - - -
- dıń,- dıń,- dıń tagida jaylasadı. Noqattıń ol yamasa bul oktantda jaylasıwına qaray, onıń koordinataları belgileri bul keste degi sıyaqlı boladı.
koordinatalar keńisliksiniń qálegen noqatı bolsın. vektorǵa noqattıń radius vektorı dep ataladı.
radius vektordıń koordinatalarına noqattıń tuwrı múyeshli koordinataları dep ataladı. Eger bolsa, ol halda noqattıń koordinataları sıyaqlı belgilenedi, bunda sanı noqattıń abssissası, sanı noqattıń ordinatası hám sanı noqattıń applikatasi dep ataladı.
Ush, hám koordinatalar keńislikgi noqattıń ornın tolıq anıqlaydı, yaǵnıy, hám sanlardıń hár bir ushlıgiga keńisliktiń birden-bir noqatı sáykes keledi, hám kerisinshe.
Paydalanılǵan ádebiyatlar :
1. Cilindrik hám sferik koordinatalar
sanlar ushlıgiga keńislik noqatınıń cilindrik koordinataları dep ataladı, bul jerde noqattıń tegislikke proyeksiyası radius vektorınıń uzınlıǵı, bul radius vektordıń kósher menen shólkemlestirgen múyeshi, noqattıń applikatasi (13-forma ).
Cilindrik hám dekart koordinataları tómendegi baylanısıwǵa iye:, bul jerde

sanlar ushlıgiga keńislik noqatınıń sferik koordinataları dep ataladı, bul jerde noqat radius vektorınıń uzınlıǵı,
radius vektordıń tegislikke proyeksiyasınıń kósher menen shólkemlestirgen múyeshi, radius vektordıń o'qdan iyiw múyeshi (14-forma ).
Sferik hám dekart koordinataları tómendegi baylanısıwǵa iye
bul jerde.
Mısal
Tuwrı múyeshli koordinatalar sistemasında berilgen
noqattıń cilindrik hám sferik koordinatalarınıń tabamız :, sebebi noqat tegisliktiń
shereginde jatadı,
Sonday eken, berilgen noqattıń cilindrik koordinataları
noqattıń sferik koordinatalarınıń tabamız :, Sonday eken,
Bizge jaqsı ekenin aytıw kerek, eki márteli integrallardı jaqınlasıwǵa tekseriwde kóbinese polyus koordinatalar sistemasına ótiw zárúrli rol oynaydı. Zamanagóy matematikada kóbinese úsh márteli integrallardı jaqınlashuvchanlikka tekseriw menen baylanıslı máseleler ushırasıp turadı. Atap aytqanda, Fridrixs modeli yamasa ulıwmalasqan Fridrixs modeliniń ádetdegi hám bosaǵalıq tán bahaların hám de virtual ústin analiz qılıwda úsh márteli integrallardı tekseriwge tuwrı keledi. Bunı bolsa kóbinese sferik koordinatalar sistemasına ótiw arqalı ámelge asırıw múmkin. Sol kózqarastan bunday koordinatalar sisteması haqqındaǵı maǵlıwmatlar zárúrli esaplanadi.
Sferik koordinatalar sisteması -úsh ólshemli koordinatalar sisteması bolıp,
keńislikgi hár qanday noqat ush koordinata r, ,   arqalı anıqlanadı, bunda r -noqattan koordinata basınasha bolǵan aralıq (radial aralıq ),  hám  lar bolsa uyqas túrde zenit hám azimut múyeshler. Zenit hám azimut túsinikleri astronomiyada keń qollanıladı. Zenit-bul fundamental tegislikke tiyisli bolǵan saylanǵan noqattan (gúzetiw noqatınan ) vertikal kóteriliw baǵdarı bolıp tabıladı. Astronomiyada fundamental tegislik retinde ekvator yamasa jıyek yotuvchi tegislikti tańlaw múmkin. Azimut-bul orayı gúzetiw noqatında bolǵan fundamental tegisliktegi qálegen saylanǵan nur hám aldınǵısı menen ulıwma baslanǵısh noqatqa iye basqa nur arasındaǵı múyesh bolıp tabıladı.
Eger sferik koordinatalar sisteması Oxuz dekart koordinatalar sistemasına salıstırǵanda qaralsa, ol halda xu tegisligi fundamental tegislik boladı, berilgen R radius - vektordıń zenit múyeshi R hám z kósher arasındaǵı múyeshka teń boladı. R dıń xu
tegisliktegi proyeksiyası hám x oǵı arasındaǵı múyesh bolsa azimut boladı. Sol arqalı múyeshlerdiń atalıwın tiykarlash múmkin hám sferik koordinatalar sistemasın
keńislikdegi koordinatalar sisteması túrin ulıwmalastırıw retinde qaraw múmkin.
R noqattıń jaylshuvi sferik koordinatalar sistemasında r, ,   úshlıq arqalı anıqlanadı, bul jerde
berilgan R noqattan koordinata basınasha bolǵan aralıq nomanfiy bolıp tabıladı,
yaǵnıy
r  0 ;
R noqat hám koordinata basın tutastiruvchi kesma hám z oǵı arasındaǵı 
múyesh ushın
0    180  munasábet orınlı ;
R nuqta hám koordinata basın tutastiruvchi kesmaning xu tekislikga
proyeksiyası hám x oǵı arasındaǵı  múyesh ushın
0    360
munasábet orınlı.
 burchakka zenit yamasa polyus múyeshi dep ataladı. Onı kóbinese iyiw múyeshi yamasa kokenglik dep da júritiledi.  ga bolsa azimut múyeshi dep ataladı.  hám
 múyeshler
r  0
bolǵanda anıqlanbaǵan. Bunnan tısqarı
sin  0
yaǵnıy
  0
yamasa
  180 
bolǵanda  burchak anıqlanbaǵan. Bunday shártlesiw ISO 31-11
standartda belgilengen. Bunnan tısqarı,  zenit múyesh ornına R radius vektor
hám xu tegislik arasındaǵı
90 
ga teń múyesh da isletiliwi múmkin. Oǵan
keńlik dep ataladı va u ham  harfi menen belgilenedi. Keńlik
 90    90
aralıqta ózgeriwi múmkin. Usı shártlesiwde  hám  múyeshler
r  0
bolǵanda
mániske iye emes;

2. Sızıqlardıń parametrik teńlemesi.

Birinshiden, biz kosmos daǵı tuwrı sızıqtıń parametrli teńlemesin alamız. Joqarıda, vektor teńligi jazılǵanda, ol jaǵdayda ámeldegi bolǵan parametr haqqında qashannan berli aytıp ótilgen edi. Parametrik teńlemeni alıw ushın vektordı keńeytiw jetkilikli. Biz alamız :
x = x 0 + a × a;
y = y 0 + a × b;
z = z 0 + a × c
Hár biri birden ózgeriwshen koordinatalı hám a parametrge iye bolǵan bul ush sızıqlı teńliktiń kombinatsiyası ádetde kosmos daǵı tuwrı sızıqtıń parametrli teńlemesi dep ataladı. Haqıyqattan da, biz hesh qanday jańa jumıs etpedik, bálki jaysha sáykes keletuǵın vektorlı ańlatpanıń mánisin anıq jazıp aldıq. Biz tek bir pikirdi aytymiz: a sanı, óz basımshalıq menen sonda da, ush teńlik ushın birdey. Mısalı, eger 1-teńlik ushın a =-1, 5 bolsa, ol halda onıń koordinatalarınıń noqattıń koordinatalarınıń anıqlawda ekinshi hám úshinshi teńliklerge almastırıw kerek.
Tegisliktegi tegis sızıqtıń parametrik teńlemesi keńislikdegi jaǵdayǵa uqsaydı. Bul sonday jazılǵan :
x = x 0 + a × a;
y = y 0 + a × b
Sonday etip, tuwrı sızıqtıń parametrik teńlemesin dúziw ushın ol ushın vektor teńlemesi anıq jazılıwı kerek.
Teńlemeni kanonik túrde alıw
Joqarıda aytıp ótilgeni sıyaqlı, kosmos daǵı hám tegisliktegi tuwrı sızıqtı belgileytuǵın barlıq teńlemeler bir-birinen alınadı. Tuwrı sızıqtıń parametrli teńlemesinen kanonikani qanday alıwdı kórsetemiz. Mekansal jumıs ushın bizde:
x = x 0 + a × a;
y = y 0 + a × b;
z = z 0 + a × c
Parametrdi hár bir teńlikte ańlatpalaymız:
a = (x - x 0) / a;
a = (y - y 0) / b;
a = (z - z 0) / c
Shep tárepleri birdey bolǵanı ushın, teńliklerdiń oń tárepleri de bir-birine teń:
(x - x 0) / a = (y - y 0) / b = (z - z 0) / c
Bul kosmos daǵı tuwrı sızıq ushın kanonik teńleme. Hár bir ańlatpa daǵı bólimdiń ma`nisi sáykes keletuǵın koordinata bolıp tabıladı. Hár bir ózgeriwshiden shiǵarılatuǵın numeratordagi bahalar sol sızıqtaǵı noqattıń koordinataları.
Samolyotda jumıs ushın sáykes keletuǵın teńleme tómendegi formanı aladı :
(x - x 0) / a = (y - y 0) / b

3. Ekinshi tártipli sızıqlardıń ulıwma teńlemesi: klassifikatsiya qılıw hám

kanonik kóriniske keltiriw

Ekinshi dárejeli Ax2 +2 Bxy+Cy2 +2 Dx+2 Ey+F =0 teńleme berilgen bolsın.

Bul jerde A, B, C, D, E, F - berilgen haqıyqıy sanlar. Bunda A2 +B2 +C2 ≠0.
Bul sızıq ekinshi tártipli sızıq dep ataladı. Teńleme koefficiyentleriniń bahalarına qaray, túrli iymek sızıqlardı súwretlew múmkin. Biz keyinirek bul teńleme koefficiyentleriniń qanday bahalarında qanday sızıqtı suwret etiwi máselesi menen tanısıp shıǵamız. Ulıwma alǵanda teńlemeni qánaatlantıratuǵın koordinataları haqıyqıy bolǵan (x, y) noqatlar ámeldegi bolmawi de múmkin.
Bul halda, teńleme abstrakt sızıqtı anıqlaydı. Mısalı, abstrakt sheńber:
x^2+y^2=-1 ulıwma teńlemediń zárúrli jeke halların kórip shıǵamız.
Endi (1) parbolada basqa koordinatalar sistemasına ótemiz yaǵnıy bul
almastırıwdı alamız. Ol halda parabola kóriniske keledi. Biz qolaylıq ushın
desek, aqırǵı teńlik tómendegi kóriniske keledi:
y2 = 2 px, p > 0 (3)
(3) teńlemege tegislikte parabolaning kanonik teńlemesi dep ataladı. Endi biz (3) dagi p - koefficiyenttiń geometriyalıq ornın anıqlaymız. Onıń ushın Ox o'qda absissali parabola fokusi dep atalatuǵın noqattı hám parabola direktrisasi dep atalıwshı tuwrı sızıqtı ótkeremiz.