Ko’p o’lchovli taqsimotlar (ko’p o’lchovli taqsimotlarning zichlik funksiyalari va ularning xossalari.)


Download 310.76 Kb.
Pdf ko'rish
Sana08.11.2020
Hajmi310.76 Kb.
#142751
Bog'liq
10-Amaliy mashgulot


Ko’p o’lchovli taqsimotlar (ko’p o’lchovli taqsimotlarning zichlik funksiyalari va ularning 

xossalari.) 

Ikki o‘lchovlik tasodifiy miqdor uzluksiz deyiladi, agar uning taqsimot funksiyasi 

( , )

F x y

:                                            

1. uzluksiz bo‘lsa; 

2. har bir argumenti bo‘yicha differensiyallanuvchi; 

3. 

''

( , )



xy

F x y

 ikkinchi tartibli aralash hosila mavjud bo‘lsa. 



Ikki o‘lchovlik (X,Y) tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi  

 

2



''

( , )


( , )

( , )


xy

F x y

f x y

F

x y

x y



 


                                   (1) 

 

Tenglik orqali aniqlanadi. 



2. Ikki o‘lchovlik uzluksiz tasodifiy miqdor zichlik funksiyasining xossalari. 

 

( , )



f x y

 zichlik funkiyasi quyidagi xossalarga ega: 

1. 

( , ) 0


f x y



2. 

{( , )


}

( , )


D

P X Y

D

f x y dxdy





.                                                     (3) 

3. 

( , )


( , )

y

x

F x y

f u v dudv

 


 


.                                                             (4) 

4. 


( , )

1

f x y dxdy

 

 


 


5.  X  va  Y  tasodifiy  miqdorlarning  bir  o‘lchovlik  zichlik  funksiyalarini  quyidagi  tengliklar 

yordamida topish mumkin: 

( , )


( )

X

f x y dy

f

x









( , )

( )


Y

f x y dx

f

y







.              (5) 



 

1-misol. (X,Y) ikki o‘lchovli tasodifiy miqdorning birgalidagi zichlik funksiyasi berilgan 

 


- -

,  agar 


0,

0

( , )



0,         aks holda. 

x y

Ce

x

y

f x y



 


 

 



Quyidagilarni toping: 1) O‘zgarmas son C; 2) 

( , )


F x y

; 3) 


( )

X

F

x

 va 


( )

Y

F y

;  


4) 

( )


X

f

x

 va 


( )

Y

f

y

; 5) 


{

0,

1}



P X

Y



.  

1) 


( , )

1

f x y dxdy

 

 


 


  tenglikdan  

0

0



0

0

1.



x y

x

y

C

e

dxdy C

e dx

e dy

C

 






 





 


 



 

2) 


0 0

0

0



( , )

(1

)(1



)

y

y

x

x

u v

u

v

x

y

F x y

e

dudv

e du

e dv

e

e

 






 






0,



0

x

y



ya’ni  


(1

)(1


),

0,

0,



( , )

0,                            aks holda.



x

y

e

e

x

y

F x y



 



 


 

 



3) 

0

0



0

( )


( ,

)

1



1

x

x

u

v

u

x

X

F

x

F x

e e dv du

e du

e









 

 


 



 



0



x

, demak  



 

(1

),



0,

( )


0,               

0.

x



X

e

x

F

x

x

 



 


 



 

Aynan shunday,  

 

(1

),



0,

( )


0,               

0.

y



Y

e

y

F x

y

 



 


 



 

4) 


'

'

(1



) ,

0,

,



0,

( )


( )

0,       

0,

0,                 



0,

x

x

x

X

X

e

x

e

x

f

x

F

x

x

x











 



va  shu kabi 

,

0,



( )

0,       

0.

y

Y

e

y

f

y

y



 


 



 

5) 


1

1

0



0

0

1



{

0,

1}



(

1)

1



0.63.

x

y

x

P X

Y

e dx e dy

e

e dx

e





 



 

  





 

2-misol. Ikki tasodifiy miqdorning integral funksiyasi berilgan: 

 











.



0

,

0



,

,

0



,

0

,



0

,

3



3

3

1



)

,

(



y

x

y

x

y

x

F

y

x

y

x

 

Sistemaning differensial funksiyasini toping.  



Yechish. Ushbu formuladan foydalanamiz: 

y

x

F

y

x

f



2



)

,

(



Hususiy hosilalarni topamiz:  

.

3

3



ln

),

3



3

(

3



ln

2

2



y

x

y

x

x

y

x

F

x

F











 

Shunday qilib,   









0



,

0

,



0

0

,



0

,

3



3

ln

)



,

(

2



y

x

y

x

y

x

f

y

x

 

 



1. Taqsimot funksiyasi 

 


2

2

2



2

2

2



1

, agar


0,

0,

,



0,

agar


0, yoki

0,

x



y

x

y

e

e

e

x

y

F x y

x

y



 

 




 







 

bo‘lgan ikki o‘lchovli 



,



 

 tasodifiy vektorning zichlik funksiyasini toping. 



 

2. Tasodifiy vektor 



,

 


 ning zichlik funksiyasi 







2

2

1



,

16

25



p x y

x

y



Vektorning birgalikdagi taqsimot funksiyasini toping. 



 

3. Ikki tasodifiy miqdorning birgalikdagi zichlik funksiyasi 







1

sin


, agar

,

,



,

2

0,



agar

,

.



x

y

x y

G

p x y

x y

G



 





 

bu  erda 





,

: 0



/ 2, 0

/ 2 .


G

x y

x

y



 


 

Tasodifiy  miqdorlar  birgalikdagi 

taqsimot funksiyasini toping. 

 

4. Ikki o‘lchovli 



,



 

 tasodifiy miqdor zichlik funksiyasi 







2



2

2

,



3

1

C



p x y

x

y





Quyidagilarni toping. 

a) o‘zgarmas 



C

 ning qiymatini; 

b) 





,

F x y

- birgalikdagi taqsimot funksiyani; 

s) 





,

 


  tasodifiy  nuqtani 

0,

0,



1,

1

x



y

x

y



  to‘g‘ri  chiziqlar  bilan  chegaralangan 



kvadratga tushishehtimolini. 

 

5. Ikki 

 va 


 tasodifiy miqdorlarning birgalikdagi zichlik funksiyasi 







1,

agar


,

,

,



0,

agar


,

.

x y



G

p x y

x y

G



 



 

bu  erda 



1



,

: 0


2, 0

1

.



2

G

x y

x

y

x



 


  



  Tasodifiy  miqdor 



  ning  zichlik 

funksiyasini toping. 

 

6. Ikki 

 va 


 tasodifiy miqdorlarning birgalikdagi zichlik funksiyasi 







, agar

,

,



,

0,

boshqa hollarda.



C x

y

x y

G

p x y



 


 


bu erda 



,



: 0

1, 0


1 .

G

x y

x

y

 



 

  Quyidagilarni toping:  a) o‘zgarmas 



C

  sonni:  b) 

 va 


 larning bir o‘lchovli zichlik funksiyalarini. 



7. Tasodifiy vektor 



,

 


 ning zichlik funksiyasi 







2

2

1



,

4

9



p x y

x

y





Vektorning birgalikdagi taqsimot funksiyasini toping. 



 

Download 310.76 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling