Ko`p o`zgaruvchili funksiya ekstremumlari va ularni tekshirish
Download 0.97 Mb.
|
Ko\'p o\'zgaruvchili funksiyaning ekstremumlari
|
Asosiy qism
Ko`p o`zgaruvchili funksiya ekstremumlari va ularni tekshirish. 1 – misol. funksiyaning ekstremumini toping. Avvalo kritik nuqtalarni topamiz. Buning uchun ikki o‘zgaruvchi bo‘yicha hosilani topib, ularni nolga tenglab, sistemani yechamiz: Bu sistema sistemaga teng kuchli. Bu sistemaning yechimi , bo‘ladi. Demak (-2; 0) kritik nuqta. II tartibli xususiy hosilalarni ko`rinishda belgilab, ularni kritik nuqtalardagi qiymatlarini topamiz: , , Bundan , bo‘lgani uchun (-2;0) da funksiya ekstremumga ega A>0 bo‘lgani uchun (-2; 0) minimumga ega. 2 – misol. doirada eng katta va eng kichik qiymatlarini toping. 1) Funksiyaning berilgan sohadagi kritik nuqtalarini topamiz: Demak, (0,0) kritik nuqta va u sohaga tegishli. 2) Funksiyaning topilgan nuqtadagi qiymatini topamiz: 3) Funksiyani sohaning chegarasidagi eng kichik va eng katta qiymatini topamiz. Bu sohaning chegarasi x2+y2=4 aylanadan iborat, y2=4-x2 buni berilgan funksiyaga qo‘ysak z=x2-(4-x2), z=2x2-4, x2+y2=4 aylana ustidagi nuqtalar uchun , shunnig uchun z=2x2-4 funksiyaning dagi eng kichik va eng katta qiymatlarini topamiz. Buning uchun bu funksiyaning kritik nuqtalarini topamiz z`=4x, 4x=0, x=0 b) Funksiyaning kritik nuqtalaridagi z2(0)=-4 ni topamiz. c) Funksiyaning chegaraviy nuqtalardagi qiymatini topamiz׃ z4(2)=2*22-4=4, z3(-2)=2*(-2)2-4=4 4) Topilgan z1, z2, z3, z4 qiymatlarni taqqoslaymiz. Demak, -4 funksiyanig eng kichik, 4 esa eng katta qiymatidir. 3 – misol. doirada eng katta va eng kichik qiymatlarini toping. 1) Funksiyaning berilgan sohadagi kritik nuqtalarini topamiz: Demak, (0,0) kritik nuqta va u sohaga tegishli. 2) Funksiyaning topilgan nuqtadagi qiymatini topamiz: 3) Funksiyani sohaning chegarasidagi eng kichik va eng katta qiymatini topamiz. Bu sohaning chegarasi x2+y2=4 aylanadan iborat, y2=4-x2 buni berilgan funksiyaga qo‘ysak z=x2-(4-x2), z=2x2-4, x2+y2=4 aylana ustidagi nuqtalar uchun , shunnig uchun z=2x2-4 funksiyaning dagi eng kichik va eng katta qiymatlarini topamiz. Buning uchun bu funksiyaning kritik nuqtalarini topamiz z`=4x, 4x=0, x=0 b) Funksiyaning kritik nuqtalaridagi z2(0)=-4 ni topamiz. c) Funksiyaning chegaraviy nuqtalardagi qiymatini topamiz׃ z4(2)=2*22-4=4, z3(-2)=2*(-2)2-4=4 4) Topilgan z1, z2, z3, z4 qiymatlarni taqqoslaymiz. Demak, -4 funksiyanig eng kichik, 4 esa eng katta qiymatidir. 4 – misol. Quyidagi funksiyaning ekstrimumini toping. Yechilishi: Kritik nuqtalarini topamiz: . tenglamalar sistemasini yechib , , larni topamiz . kritik nuqta bo’ladi , chunki berilgan funksiya tekislikda aniqlangan. kritik nuqtada ikkinchi tartibli xususiy hosilalarning qiymatlarini topamiz va kritik nuqtani xarakterini aniqlaymiz: . , . bo’lgani uchun funksiya nuqta maksimumga ega va bo’ladi. 5 – misol. Quyidagi funksiyaning ekstrimumini toping. Kritik nuqtalarni topamiz: Ushbu Tenglamalar sistemasini yechib , nuqtalarni topamiz . Bu nuqtalar kritik nuqtalar bo’ladi . nuqta uchun bo’lgani uchun funksiya nuqtada minumga ega va bo’ladi. nuqta uchun bo’lgani uchun funksiya nuqtad maksimumga ega va bo’ladi. nuqta uchun bo’lgani uchun funksiya nuqtada ekstrimumga ega emas . nuqta uchun bo’lgani uchun funksiya nuqtada ekstrimumga ega emas. 6 – misol. Quyidagi funksiyaning ekstrimumini toping. Kritik nuqtalarni topamiz : Ushbu tenglamalar sistemasini yechib , nuqtalarni topamiz. Topilgan nuqtalar tekshiralayotgan funksiya aniqlanish sohasi ning chegarasiga tegishli bo’lhani uchun funksiya aniqlanish sohasining ikki nuqtasi bo’lishi kerak . Shunday qilib , berilgan funksiya kritik nuqtaga ega bo’lmaganligi uchun funksiya ekstrimumga ega emas . 7 – misol. funksiyaning doiradagi eng katta va eng kichik qiymatlarini toping . Funksiyaning soha ichidagi kritik nuqtalarini va nuqtalardagi funksiyaning qiymatlarini hisoblaymiz : tenglamalar sistemasini yechib , kritik nuqtani va funksiyaning bu nuqtadagi qiymatini topamiz. Endi funksiyaning chegaradagi , ya’ni aylanadagi eng katta va eng kichik qiymatlarini topamiz. Berilgan funksiyani aylana nuqtalarida bitta ning funksiyasi sifatida ifodalash mumkin : yoki Shunday qilib , ikki o’zgaruvchili funksiyaning aylanadagi eng katta va kichik qiymatlarini topish masalasini bir o’zgaruvchili funksiyaning kesmadagi eng katta va kichik qiymatlarini topish masalasiga keltirdik . funksiyasining intervaldagi kritik nuqtalarini va funksiyasining bu nuqtadagi hamda interval chegaralari dagi qiymatlarini topamiz : kritik nuqta . Funksiyaning tpilgan qiymatlarini o’zaro taqqoslasak funksiyaning eng katta qiymati 12 ga , eng kichik qiymati 4 ga teng bo’ladi . Shunday qilib , funksiya doirada o’zining eng katta qiymatiga aylananing nuqtalarida , eng kichik qiymatiga esa aylananing nuqtalarida erishadi. 8 – misol. x2+y2=1 shartda z=6-4x-3y funksiyani ekstremumga tekshiring. larni topamiz. Bu holda funksiya shartli ekstremumga ega bo’lishligining zaruriy sharti ko’rinishda bo’ladi. Bu tenglamar sistemasini yechib, λ1 = , x1 = , y1 = va λ2 = - , x2 = - , y2 = - larni topamiz. bo’lgani uchun d2F=2λ(dx2+dy2) bo’ladi. Shunday qilib, λ = , x = , y = bo’lganda d2F>0 bo’lgani uchun funksiya ( ; ) nuqtada shartli minimumga ega bo’ladi va zmin( ; )=1. λ= - , x= - , y= - bo’lganda, d2F<0 bo’lgani uchun funksiya bu nuqtada shartli minimumga ega bo’ladi va 9 – misol. Yuzi S ga teng bo’lgan tunukadan eng kata hajmli to’g’ri burjakli parallepiped yasang. ∆ Parallepiped tomonlarini x, y, z deb belgilaylik. Bu holda qo’yilgan masala shart berilganda Funksiyaning maksimumini topishga keltiriladi. Yordamchi Lagranj funksiyasini tuzamiz: va funksiya xususiy hosilalarini topib, ularni nolga tenglaymiz: (*) Bu tenglamar sistemasidagi birinchi uchta tenglamani biridan ikkinchisini ayirsak, quyidagiga ega bo’lamiz: Hosil bo’lgan tenglamalar sistemasidan x=y=z ekani kelib chiqadi. (*) dagi oxirgi xy+yz+xz = tenglamaga asosan x=yz = bo’ladi. Demak, yuzi S ga teng bo’lgan tunukadan yasalgan eng kata hajmli parallelepiped qirralari ga teng bo’lgan kub bo’lar ekan. Download 0.97 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|