Ko`p o`zgaruvchili funksiya ekstremumlari va ularni tekshirish


Download 0.97 Mb.
bet2/10
Sana24.04.2023
Hajmi0.97 Mb.
#1394367
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10
Bog'liq
Ko\'p o\'zgaruvchili funksiyaning ekstremumlari

Asosiy qism

    1. Ko`p o`zgaruvchili funksiya ekstremumlari va ularni tekshirish.

1 – misol.   funksiyaning ekstremumini toping.
Avvalo kritik nuqtalarni topamiz. Buning uchun ikki o‘zgaruvchi bo‘yicha hosilani topib, ularni nolga tenglab, sistemani yechamiz:
 
Bu sistema   sistemaga teng kuchli.
Bu sistemaning yechimi  ,   bo‘ladi. Demak (-2; 0) kritik nuqta. II tartibli xususiy hosilalarni   ko`rinishda belgilab, ularni kritik nuqtalardagi qiymatlarini topamiz:
,   ,
 
Bundan   ,   bo‘lgani uchun
(-2;0) da funksiya ekstremumga ega A>0 bo‘lgani uchun (-2; 0) minimumga ega.
2 – misol.   doirada eng katta va eng kichik qiymatlarini toping.
1) Funksiyaning berilgan sohadagi kritik nuqtalarini topamiz:
 
Demak, (0,0) kritik nuqta va u sohaga tegishli.
2) Funksiyaning topilgan nuqtadagi qiymatini topamiz:  
3) Funksiyani sohaning chegarasidagi eng kichik va eng katta qiymatini topamiz.
Bu sohaning chegarasi x2+y2=4 aylanadan iborat, y2=4-x2 buni berilgan funksiyaga qo‘ysak z=x2-(4-x2), z=2x2-4, x2+y2=4 aylana ustidagi nuqtalar uchun  , shunnig uchun z=2x2-4 funksiyaning   dagi eng kichik va eng katta qiymatlarini topamiz. Buning uchun bu funksiyaning kritik nuqtalarini topamiz z`=4x, 4x=0, x=0
b) Funksiyaning kritik nuqtalaridagi z2(0)=-4 ni topamiz.
c) Funksiyaning chegaraviy nuqtalardagi qiymatini topamiz׃
z4(2)=2*22-4=4, z3(-2)=2*(-2)2-4=4
4) Topilgan z1, z2, z3, z4 qiymatlarni taqqoslaymiz. Demak, -4 funksiyanig eng kichik, 4 esa eng katta qiymatidir.
3 – misol.   doirada eng katta va eng kichik qiymatlarini toping.
1) Funksiyaning berilgan sohadagi kritik nuqtalarini topamiz:
 
Demak, (0,0) kritik nuqta va u sohaga tegishli.
2) Funksiyaning topilgan nuqtadagi qiymatini topamiz:  
3) Funksiyani sohaning chegarasidagi eng kichik va eng katta qiymatini topamiz.
Bu sohaning chegarasi x2+y2=4 aylanadan iborat, y2=4-x2 buni berilgan funksiyaga qo‘ysak z=x2-(4-x2), z=2x2-4, x2+y2=4 aylana ustidagi nuqtalar uchun  , shunnig uchun z=2x2-4 funksiyaning   dagi eng kichik va eng katta qiymatlarini topamiz. Buning uchun bu funksiyaning kritik nuqtalarini topamiz z`=4x, 4x=0, x=0
b) Funksiyaning kritik nuqtalaridagi z2(0)=-4 ni topamiz.
c) Funksiyaning chegaraviy nuqtalardagi qiymatini topamiz׃
z4(2)=2*22-4=4, z3(-2)=2*(-2)2-4=4
4) Topilgan z1, z2, z3, z4 qiymatlarni taqqoslaymiz. Demak, -4 funksiyanig eng kichik, 4 esa eng katta qiymatidir.

4 – misol. Quyidagi funksiyaning ekstrimumini toping.



Yechilishi:

  1. Kritik nuqtalarini topamiz:

.

tenglamalar sistemasini yechib , , larni topamiz . kritik nuqta bo’ladi , chunki berilgan funksiya tekislikda aniqlangan.
kritik nuqtada ikkinchi tartibli xususiy hosilalarning qiymatlarini topamiz va kritik nuqtani xarakterini aniqlaymiz:


.
, .
bo’lgani uchun funksiya nuqta maksimumga ega va bo’ladi.

5 – misol. Quyidagi funksiyaning ekstrimumini toping.



Kritik nuqtalarni topamiz:

Ushbu

Tenglamalar sistemasini yechib ,

nuqtalarni topamiz . Bu nuqtalar kritik nuqtalar bo’ladi .
nuqta uchun



bo’lgani uchun funksiya nuqtada minumga ega va bo’ladi.
nuqta uchun



bo’lgani uchun funksiya nuqtad maksimumga ega va bo’ladi.
nuqta uchun



bo’lgani uchun funksiya nuqtada ekstrimumga ega emas .
nuqta uchun



bo’lgani uchun funksiya nuqtada ekstrimumga ega emas.
6 – misol. Quyidagi funksiyaning ekstrimumini toping.

Kritik nuqtalarni topamiz :

Ushbu

tenglamalar sistemasini yechib , nuqtalarni topamiz.
Topilgan nuqtalar tekshiralayotgan funksiya aniqlanish sohasi ning chegarasiga tegishli bo’lhani uchun funksiya aniqlanish sohasining ikki nuqtasi bo’lishi kerak .
Shunday qilib , berilgan funksiya kritik nuqtaga ega bo’lmaganligi uchun funksiya ekstrimumga ega emas .
7 – misol. funksiyaning doiradagi eng katta va eng kichik qiymatlarini toping .
Funksiyaning soha ichidagi kritik nuqtalarini va nuqtalardagi funksiyaning qiymatlarini hisoblaymiz :

tenglamalar sistemasini yechib , kritik nuqtani va funksiyaning bu nuqtadagi qiymatini topamiz.
Endi funksiyaning chegaradagi , ya’ni aylanadagi eng katta va eng kichik qiymatlarini topamiz.
Berilgan funksiyani aylana nuqtalarida bitta ning funksiyasi sifatida ifodalash mumkin :

yoki

Shunday qilib , ikki o’zgaruvchili funksiyaning aylanadagi eng katta va kichik qiymatlarini topish masalasini bir o’zgaruvchili funksiyaning kesmadagi eng katta va kichik qiymatlarini topish masalasiga keltirdik . funksiyasining intervaldagi kritik nuqtalarini va funksiyasining bu nuqtadagi hamda interval chegaralari dagi qiymatlarini topamiz :
kritik nuqta .

Funksiyaning tpilgan qiymatlarini o’zaro taqqoslasak funksiyaning eng katta qiymati 12 ga , eng kichik qiymati 4 ga teng bo’ladi .
Shunday qilib , funksiya doirada o’zining eng katta qiymatiga aylananing nuqtalarida , eng kichik qiymatiga esa aylananing nuqtalarida erishadi.
8 – misol. x2+y2=1 shartda z=6-4x-3y funksiyani ekstremumga tekshiring.



larni topamiz. Bu holda funksiya shartli ekstremumga ega bo’lishligining zaruriy sharti

ko’rinishda bo’ladi. Bu tenglamar sistemasini yechib, λ1 =  , x1 =  , y1 =   va λ2 = -  , x2 = -  , y2 = -   larni topamiz.
bo’lgani uchun d2F=2λ(dx2+dy2) bo’ladi. Shunday qilib, λ =  , x =  , y =   bo’lganda d2F>0 bo’lgani uchun funksiya ( ;  ) nuqtada shartli minimumga ega bo’ladi va zmin( ;  )=1. λ= -  , x= -  , y= -   bo’lganda, d2F<0 bo’lgani uchun funksiya bu nuqtada shartli minimumga ega bo’ladi va

9 – misol. Yuzi S ga teng bo’lgan tunukadan eng kata hajmli to’g’ri burjakli parallepiped yasang.


∆ Parallepiped tomonlarini x, y, z deb belgilaylik. Bu holda qo’yilgan masala

shart berilganda

Funksiyaning maksimumini topishga keltiriladi.
Yordamchi Lagranj funksiyasini tuzamiz:

va funksiya xususiy hosilalarini topib, ularni nolga tenglaymiz:
(*)
Bu tenglamar sistemasidagi birinchi uchta tenglamani biridan ikkinchisini ayirsak, quyidagiga ega bo’lamiz:

Hosil bo’lgan tenglamalar sistemasidan x=y=z ekani kelib chiqadi. (*) dagi oxirgi xy+yz+xz =   tenglamaga asosan x=yz =   bo’ladi. Demak, yuzi S ga teng bo’lgan tunukadan yasalgan eng kata hajmli parallelepiped qirralari   ga teng bo’lgan kub bo’lar ekan.

Download 0.97 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling