Ko’phadlarning ekubi va ekukini topishga doir misollar 2-Tarif

Ko’phadlarning EKUBi va EKUKini topishga doir misollar
3.2-Tarif. Agar d(x) ko`phad f(x) va (x) ko`phadlarni eng katta umumiy bo`luvchisi (EKUB) deyiladi .
Masalan , yuqoridagi misildagi f(x) va (x) ko`phadlarning eng katta umumiy bo`luvchisi g<sub>7</sub>(x) =x<sup>3</sup>-2x<sup>2</sup>-x+2 bo`ladi . f(x) va (x) ko`phadlarning EKUB (f(x) , (x) ) ko`rinishida belgilanadi .
3.3-Tarif . Agar f(x) va (x) ko`phadlarni eng katta umumiy bo`luvchisi nolinchi darajali ko`phad bo`lsa u holda f(x) va (x) ko`phadlar o`zaro tub ko`phadlar deyiladi .
3.1-Teorema . f(x) va (x) ko`phadlarni eng katta umumiy bo`luvchisi (1) tengliklardagi eng so`nggisi r_k(x) qoldiq bo`ladi .
Isboti. Avvalo f(x) va (x) uchun r<sub>k</sub>(x) umumiy bo`luvchi ekanligini ko`rsatamiz . Shu maqsadda (1) dan
r<sub>k-2</sub>(x) = r<sub>k-1</sub>(x) g<sub>k</sub>(x)+ r<sub>k</sub>(x) (2)
tenglikni olib , bu tenglikning o`ng tomoni r_k(x) ga bo`lingani uchun r<sub>k-2</sub>(x) ham r<sub>k</sub>(x) ga bo`linishini ko`rsatamiz . Undan keyin (1) da (2)dan yuqorida turgan
r<sub>k-3</sub>(x)= r<sub>k-2</sub>(x) va g<sub>k-1</sub>(x) + r<sub>k-1</sub>(x)
tenglikni olib , huddi o`sha yo`l bilan r<sub>k-3</sub>(x) ning ham r<sub>k</sub>(x) ga bo`linishini topamiz . Shu xilda (1) dagi har bir tenglikdan yuqoridagi tenglikka o`tib , nihoyat f(x) va (x) ning r<sub>k</sub>(x) ga bo`linishini ko`ramiz . Demak , f(x) va (x) ko`phadlar uchun r_k(x) umumiy bo`luvchidir .
Endi f(x) va (x) ning istalgan umumiy bo`luvchisi g(x) bilan belgilab , (1) dagi birinchi f(x) - (x) g₁(x) = r₁(x)
Tenglikning chap tomoni g(x) ga bo`linganini ko`ramiz . Shu sababli bu tenglikning o`ng tomonidagi r<sub>1</sub>(x) ham g(x) ga bo`linadi . Keyingi
(x) - r₁(x) g₂(x) = r₂(x)
Tenglikka nisbatan ham yuqoridagi mulohazani takrorlab r₂(x) ning g(x) ga bo`linishini topamiz va hakazo. Shu xilda , (1) ning har bir tengligida keyingi tengligiga o`tib nihoyat r_k(x) nin g(x) ga bo`linishini ko`ramiz . Demak , f(x) va (x) uchun r_k(x) eng katta umumiy bo`luvchisidir .


3.2-Teorema . Agar d(x) ko`phad f(x) va (x) ko`phadlarni eng katta umumiy bo`luvchisi bo`lsa , ad(x) ham f(x) va (x) ning eng katta umumiy bo`luvchisi bo`ladi , (bunda a - nolinchi darajali istalgan ko`phad ).
Isboti . Ko`phadlar bo`linishining 6-hossasiga binoan f(x) va (x) ko`phadlar ad(x) ga bo`linadi . Demak , ad(x) ko`phad bu ko`phadlarning umumiy bo`luvchisi . Endi g(x) ni f(x) va (x) ning istalgan umumiy bo`luvchisi desak , g(x) ga ad(x) bo`linadi , chunki d(x)=g(x) h(x) dan ad(x) =g(x) (ah(x)) kelib chiqadi .
Demak , eng katta umumiy bo`luvchi ad(x) ko`rinishiga ega bo`lsa , biz uni a ga qisqartira olamiz .
Aksincha , d(x) va d<sub>1</sub>(x) ko`phadlarni f(x) va (x) ning eng katta umumiy bo`luvchilari desak , ular bir –biridan faqat o`zgarmas ko`paytuvchi , yani nolinchi darajali ko`phadga teng ko`paytuvchi bilangina farq qilishi mumkin .
Haqiqatdan d(x) ni eng katta umumiy bo`luvchi va d₁(x) ni umumiy bo`luvchi deb qarasak , d(x) ning d<sub>1</sub>(x) ga nisbatan ham shu mulahazani takrorlab uning d(x) ga bo`linishini ko`ramiz . Demak , qoldiqli bo`lishning 7-xossasiga muofiq d₁(x) =ad(x) bo`ladi .
Yuqorida bayon etilganlarga ko`ra , o`zgarmas ko`paytuvchiga etibor qilmaganimizdagina f(x) va (x) ko`phadlar yagona eng katta umumiy bo`luvchiga ega deyishimiz mumkin .